閉凸射影定理（へいとつしゃえいていり、、）は、関数解析学および幾何学的バナッハ空間論における重要定理の一つで、ヒルベルト空間や適当な幾何学的性質を持つバナッハ空間の空でない閉凸部分集合に対して、任意の点から「最も近い点（最良近似点）」が一意に存在することを主張する定理である。
この定理により定義される「射影（nearest point projection）」は、最適化問題、変分不等式、関数解析学における直交分解やリースの表現定理の証明などに幅広く応用される。
ヒルベルト空間における閉凸射影定理
定理の主張 を実ヒルベルト空間、 を空でない閉かつ凸な部分集合とする。このとき、任意の に対して、 と の距離
を達成する唯一の点 が存在する。すなわち、
を満たす が唯一つ存在する。
写像 は 閉凸集合 への直交射影（orthogonal projection onto ）と呼ばれる。
証明の骨子 存在性と一意性の証明には、ヒルベルト空間の内積構造から導かれる中線定理が本質的な役割を果たす。
1. 存在性: 距離の極限を与える点列 （すなわち ）をとる。 の凸性より であるため、 が成り立つ。中線定理を と に適用することで がコーシー列であることが示され、 の完備性（および の閉性）から極限 が存在する。
2. 一意性: 条件を満たす点が2つ（）存在すると仮定し、同様に中線定理を適用することで 、すなわち が導かれる。
変分不等式による特徴付け 射影点 は、次の変分不等式によって同値に特徴付けられる： かつ
これは幾何学的に、ベクトル と のなす角が鈍角（または直角）であることを意味する。特に が閉部分空間である場合、この条件は が と直交すること（直交分解）と同値になる。
射影作用素の性質 射影写像 は以下の好ましい性質を満たす。 非拡大性（リプシッツ連続性）: 任意の に対して、 単調性: 任意の に対して、（強単調性） 冪等性: 任意の について であり、
バナッハ空間への一般化
一般のバナッハ空間 においては、内積構造（中線定理）が存在しないため、閉凸集合への最良近似点（nearest point）の存在性や一意性は一般には成り立たない。しかし、ノルムの幾何学的性質（狭義凸空間、一様凸空間、回帰的空間など）を仮定することで、定理を段階的に一般化することができる。
一意性と狭義凸性 バナッハ空間 の空でない凸集合 に対し、最良近似点が存在するとしても一意であるとは限らない。
狭義凸空間: 単位球の球面が平坦な部分を含まない空間。空間 が狭義凸であることと、「任意の閉凸集合 と に対し、最良近似点が存在するならば高々1つである（一意性が成り立つ）」ことは同値である。
存在性と回帰性 最良近似点の存在性を保証するためには、空間の幾何学的完備性や弱位相に関する性質が必要となる。
回帰的バナッハ空間とチェビシェフ集合: が回帰的空間であれば、任意の空でない閉凸集合 に対し、最良近似点が少なくとも1つ存在する（一般に一意とは限らない）。任意の閉凸集合に対し最良近似点が唯一存在するような集合を と呼ぶ。 一様凸空間: ミルマン＝ペティスの定理より、一様凸空間は回帰的空間である。一様凸空間の任意の空でない閉凸集合 に対し、任意の からの最良近似点が必ず唯1つ存在する。すなわち、一様凸空間では閉凸射影定理がそのまま成立する。
双対写像を用いた特徴付け 一般のバナッハ空間においては、内積の代わりに正規化双対写像 を用いて最良近似点が特徴付けられる。 とすると、 が の最良近似点であるための必要十分条件は、変分不等式
を満たすことである。
応用 閉凸射影定理とその一般化は、純粋数学・応用数学の双方で基幹的な役割を果たす。 リースの表現定理の証明: ヒルベルト空間上の連続線型汎関数が内積で表現できることを示す際、汎関数の核という閉部分空間への直交射影が存在することを利用する。 分離超平面定理（ハーン–バナッハの定理の幾何学形）: 点と閉凸集合、あるいは互いに交わらない閉凸集合同士を分離する超平面の存在を証明する基礎となる。 変分不等式と非線型解析: 不動点問題や極値問題を幾何学的に定式化する変分不等式問題において、射影作用素を用いた反復法（射影勾配法など）の収束性解析に広く適用される。 最良近似理論: 関数空間における多項式近似やスプライン近似など、与えられた部分空間の中で対象の関数に最も近い要素を決定する理論の骨組みを与える。
関連項目 ヒルベルト空間 バナッハ空間 直交射影 一様凸空間 狭義凸空間 リースの表現定理 ハーン＝バナッハの定理（分離超平面定理） 変分不等式
脚注
参考文献