Хелмхолцова равенка – елиптична парцијална диференцијална равенка:
каде претставува Лапласов оператор, е бранов број, а амплитуда. Нехомогената Хелмхолцова равенка го има обликот:
Извод Може да се забележи дека во Хелмхолцовата равенка нема оператори кои претставуваат изводи по време. Хелмхолцовата равенка може да се добие од брановата равенка: (1)
Се претпоставува дека брановата функција се решава со сепарација на променливите по простор и време: (2) Заменувајќи го изразот (2) во изразот (1) се добива следнава равенка: (3) Левата страна на равенката (3) зависи само од просторните координати, а десната страна од времето. Заради сето тоа, во општ случај двете страни на равенката се еднакви на некоја константа, па се добиваат две равенки: (4) и (5)
Преуредувајќи ја равенката (4) се добива: (6) а преуредувајќи ја равенката (5) со помош на супституција се добива:
Притоа k е бранов вектор, , а ω е аголна честота.
Решавање на Хелмхолцовата равенка со сепарација на променливите За Хелмхолцовата равенка: (7) Лапласовиот оператор во поларни координати се запишува како:
Заради тоа равенката (7) станува: (8)
Се прави обид равенката да се реши со сепарација на променливите:
каде Θ мора да биде периодична со периода 2π. Од каде следи:
(9)
и (10) Решенијата од (9) и (10) се:
каде е Беселова функција, која е решение на Беселовата равенка:
Тридимензионално решение во сферни координати Во сферни координати општото решение на Хелмхолцовата равенка е:
каде и се сферни Беселови функции, а : ги претставува сферните хармоници.
Нехомогена Хелмхолцова равенка Нехомогената Хелмхолцова равенка:
се решава со помош на Гриновата функција, односно:
Бидејќи е:
<p align="left">
тогаш е тридимензионална Гринова функција:
Горенапишаните равенки може да се напишат во векторски облик како:
а Гриновата функција како:
Решението на нехомогената Хелмхолцова равенка тогаш може да се прикаже со Гриновата функција како:
Поврзано Лапласова равенка
Литература Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X Хелмхолцови равенки
Надворешни врски Helmholtz Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Vibrating Circular Membrane by Sam Blake, The Wolfram Demonstrations Project. Green's functions for the wave, Helmholtz and Poisson equations in a two-dimensional boundless domain
Категорија:Равенки Категорија:Диференцијални равенки Категорија:Херман фон Хелмхолц