Em matemática, a teoria de Deligne-Lusztig é uma forma de construir representações lineares de grupos finitos do tipo Lie usando a coomologia ℓ-ádica com suporte compacto, introduzida por .

usou essas representações para encontrar todas as representações de todos os grupos simples finitos do tipo Lie.

Motivação Suponha que G seja um grupo redutivo definido sobre um corpo finito, com o mapa de Frobenius F.

Ian G. Macdonald conjecturou que deveria haver um mapa de caracteres em posição geral de toros maximais F-estáveis para representações irredutíveis de (os pontos fixos de F). Para os grupos lineares gerais, isso já era conhecido pelo trabalho de . Este foi o principal resultado provado por Pierre Deligne e George Lusztig; eles encontraram uma representação virtual para todos os caracteres de um toro maximal F-estável, a qual é irredutível (a menos de sinal) quando o caractere está em posição geral.

Quando o toro maximal é decomposto (split), essas representações eram bem conhecidas e são dadas pela indução parabólica de caracteres do toro (estendendo o caractere a um subgrupo de Borel e, em seguida, induzindo-o até G). As representações da indução parabólica podem ser construídas usando funções num espaço, que podem ser pensadas como elementos de um grupo de coomologia zero adequado. A construção de Deligne e Lusztig é uma generalização da indução parabólica para toros não decompostos (non-split) usando grupos de coomologia superiores. (A indução parabólica também pode ser feita com toros de G substituídos por subgrupos de Levi de G, e há uma generalização da teoria de Deligne-Lusztig para este caso também.)

Vladimir Drinfeld provou que as representações da série discreta de SL2(Fq) podem ser encontradas nos grupos de coomologia ℓ-ádica

da curva afim X definida por

.

O polinômio é um determinante usado na construção do invariante de Dickson do grupo linear geral, e é um invariante do grupo linear especial.

A construção de Deligne e Lusztig é uma generalização deste exemplo fundamental para outros grupos. A curva afim X é generalizada para um fibrado sobre uma "variedade de Deligne-Lusztig" onde T é um toro maximal de G, e em vez de usar apenas o primeiro grupo de coomologia, eles usam uma soma alternada de grupos de coomologia ℓ-ádica com suporte compacto para construir representações virtuais.

A construção de Deligne-Lusztig é formalmente semelhante à construção de Hermann Weyl das representações de um grupo compacto a partir dos caracteres de um toro maximal. O caso dos grupos compactos é mais fácil em parte porque há apenas uma classe de conjugação de toros maximais. A construção de representações de grupos algébricos pelo teorema de Borel-Weil-Bott, usando a coomologia de feixes coerentes, também é semelhante.

Para grupos semissimples reais, existe um análogo da construção de Deligne e Lusztig, que utiliza os functores de Zuckerman para construir representações.

Variedades de Deligne-Lusztig A construção dos caracteres de Deligne-Lusztig utiliza uma família de variedades algébricas auxiliares XT chamadas variedades de Deligne-Lusztig, construídas a partir de um grupo algébrico linear redutivo G definido sobre um corpo finito Fq.

Se B é um subgrupo de Borel de G e T um toro maximal de B, então escrevemos

WT,B

para o grupo de Weyl (normalizador mod centralizador)

NG(T)/T

de G em relação a T, juntamente com as raízes simples correspondentes a B. Se B1 é outro subgrupo de Borel com toro maximal T1, então existe um isomorfismo canônico de T para T1 que identifica os dois grupos de Weyl. Assim, podemos identificar todos esses grupos de Weyl e chamá-lo de 'o' grupo de Weyl W de G. Da mesma forma, existe um isomorfismo canônico entre quaisquer dois toros maximais com uma dada escolha de raízes positivas, portanto, podemos identificar todos estes e chamá-lo de 'o' toro maximal T de G.

Pela decomposição de Bruhat

G = BWB,

o subgrupo B1 pode ser escrito como o conjugado de B por bw para algum b∈B e w∈W (identificado com WT,B) onde w é unicamente determinado. Neste caso, dizemos que B e B1 estão em posição relativa w.

Suponha que w está no grupo de Weyl de G, e escreva X para a variedade projetiva suave de todos os subgrupos de Borel de G. A variedade de Deligne-Lusztig X(w) consiste em todos os subgrupos de Borel B de G tais que B e F(B) estão em posição relativa w [lembre-se que F é o mapa de Frobenius]. Em outras palavras, é a imagem inversa do espaço G-homogêneo de pares de subgrupos de Borel em posição relativa w, sob a isogenia de Lang com a fórmula

g.F(g)−1. Por exemplo, se w=1, então X(w) é de dimensão 0 e seus pontos são os subgrupos de Borel racionais de G.

Seja T(w) o toro T, com a estrutura racional para a qual o Frobenius é wF. As classes de conjugação em dos toros maximais F-estáveis de G podem ser identificadas com as classes de F-conjugação de W, onde dizemos que w∈W é F-conjugado a elementos da forma vwF(v)−1 para v∈W. Se o grupo G for um grupo cindido (split), de modo que F atue trivialmente sobre W, isso é equivalente à conjugação ordinária, mas, em geral, para grupos não cindidos G, F pode atuar sobre W através de um automorfismo de diagrama não trivial. As classes de conjugação F-estáveis podem ser identificadas com elementos do grupo não abeliano de coomologia de Galois de torsores

.

Fixe um toro maximal T de G e um subgrupo de Borel B que o contenha, ambos invariantes sob o mapa de Frobenius F, e escreva U para o radical unipotente de B. Se escolhermos um representante w′ do normalizador N(T) representando w, então definimos X′(w′) como os elementos de G/U com F(u)=uw′. O grupo age livremente sobre isto, e o quociente é isomorfo a X(T). Assim, para cada caractere θ de obtemos um sistema local correspondente Fθ sobre X(w). A representação virtual de Deligne-Lusztig

Rθ(w)

de é definida pela soma alternada

dos grupos de coomologia ℓ-ádica com suporte compacto de X(w) com coeficientes no sistema local ℓ-ádico Fθ.

Se T é um toro maximal F-invariante de G contido em um subgrupo de Borel B tal que B e FB estão em posição relativa w então Rθ(w) também é denotado por RθT⊂B, ou por RθT, pois, a menos de isomorfismo, não depende da escolha de B.

Propriedades dos caracteres de Deligne-Lusztig O caractere de RθT não depende da escolha do primo l≠p, e se θ=1, seus valores são inteiros racionais. Todo caractere irredutível de ocorre em pelo menos um caractere Rθ(w). O produto interno de RθT e Rθ′T′ é igual ao número de elementos de W(T,T′)F que levam θ a θ′. O conjunto W(T,T′) é o conjunto de elementos de G que levam T a T′ sob conjugação, módulo o grupo que atua sobre ele da maneira óbvia (portanto, se T=T′, é o grupo de Weyl). Em particular, o produto interno é 0 se w e w′ não forem F-conjugados. Se θ estiver em posição geral, então RθT tem norma 1 e é, portanto, um caractere irredutível a menos de sinal. Isso verifica a conjectura de Macdonald. A representação RθT contém a representação trivial se e somente se θ=1 (caso em que a representação trivial ocorre exatamente uma vez). A representação RθT tem dimensão

onde é um p-subgrupo de Sylow de , de ordem igual à maior potência de p que divide ||. A restrição do caractere RθT aos elementos unipotentes u não depende de θ e é chamada de função de Green, denotada por QT,G(u) (a função de Green é definida como sendo 0 em elementos que não são unipotentes). A fórmula de caracteres fornece o caractere de RθT em termos de funções de Green de subgrupos da seguinte forma:

onde x=su é a decomposição de Jordan-Chevalley de x como o produto de elementos semissimples e unipotentes comutativos s e u, e Gs é a componente de identidade do centralizador de s em G. Em particular, o valor do caractere se anula a menos que a parte semissimples de x seja conjugada sob a algo no toro T. A variedade de Deligne-Lusztig é usualmente afim, em particular sempre que a característica p for maior que o número de Coxeter h do grupo de Weyl. Se for afim e o caractere θ estiver em posição geral (de forma que o caractere de Deligne-Lusztig seja irredutível a menos de sinal), então apenas um dos grupos de coomologia Hi(X(w),Fθ) é não nulo (aquele com i igual ao comprimento de w), de modo que este grupo de coomologia fornece um modelo para a representação irredutível. Em geral, é possível que mais de um grupo de coomologia seja não nulo, por exemplo, quando θ é 1.

Classificação de Lusztig dos caracteres irredutíveis Lusztig classificou todos os caracteres irredutíveis de decompondo tal caractere em um caractere semissimples e um caractere unipotente (de outro grupo) e classificando separadamente os caracteres semissimples e unipotentes.

O grupo dual As representações de são classificadas usando classes de conjugação do grupo dual de G. Um grupo redutivo sobre um corpo finito determina um dado de raízes (com escolha da câmara de Weyl) juntamente com uma ação do elemento de Frobenius sobre ele. O grupo dual G* de um grupo algébrico redutivo G definido sobre um corpo finito é aquele com o dado de raízes dual (e ação de Frobenius adjunta). Isto é semelhante ao grupo dual de Langlands (ou grupo L), exceto que aqui o grupo dual é definido sobre um corpo finito em vez de sobre os números complexos. O grupo dual tem o mesmo sistema de raízes, exceto que os sistemas de raízes dos tipos B e C são trocados.

As conjecturas de Langlands locais afirmam (de forma muito geral) que as representações de um grupo algébrico sobre um corpo local devem estar intimamente relacionadas com as classes de conjugação no grupo dual de Langlands. A classificação de Lusztig das representações de grupos redutivos sobre corpos finitos pode ser pensada como uma verificação de um análogo dessa conjectura para corpos finitos (embora Langlands nunca tenha afirmado a sua conjectura para este caso).

Decomposição de Jordan Nesta seção G será um grupo redutivo com centro conexo.

Um caractere irredutível é chamado unipotente se ocorrer em algum R1T, e é chamado semissimples se o seu valor médio em elementos unipotentes regulares for não nulo (nesse caso o valor médio é 1 ou −1). Se p for um primo bom para G (significando que não divide nenhum dos coeficientes das raízes expressas como combinações lineares de raízes simples), então um caractere irredutível é semissimples se e somente se a sua ordem não for divisível por p.

Um caractere irredutível arbitrário tem uma "decomposição de Jordan": a ele pode-se associar um caractere semissimples (correspondente a algum elemento semissimples s do grupo dual), e uma representação unipotente do centralizador de s. A dimensão do caractere irredutível é o produto das dimensões dos seus componentes semissimples e unipotentes.

Isto (mais ou menos) reduz a classificação dos caracteres irredutíveis ao problema de encontrar os caracteres semissimples e os unipotentes.

Conjugação geométrica Dois pares (T,θ), (T′,θ′) de um toro maximal T de G fixado por F e um caractere θ de são chamados de geometricamente conjugados se forem conjugados sob algum elemento de G(k), onde k é o fecho algébrico de Fq. Se uma representação irredutível ocorre tanto em RTθ quanto em RT′θ′, então (T,θ), (T′,θ′) não precisam ser conjugados sob , mas são sempre geometricamente conjugados. Por exemplo, se θ = θ′ = 1 e T e T′ não forem conjugados, então a representação identidade ocorre em ambos os caracteres de Deligne-Lusztig, e os pares correspondentes (T,1), (T′,1) são geometricamente conjugados, mas não conjugados.