Na matemática, a função teta de Riemann-Siegel é definida em termos da função gama como
para valores reais de t. Aqui, o argumento é escolhido de tal forma que se obtenha uma função contínua e que seja satisfeita, ou seja, da mesma forma que o ramo principal da função log-gama é definido.
Ela possui uma expansão assintótica
que não é convergente, mas cujos primeiros termos fornecem uma boa aproximação para . Sua série de Taylor em 0, que converge para , é
onde denota a função poligama de ordem . A função teta de Riemann-Siegel é de interesse no estudo da função zeta de Riemann, pois ela pode rotacionar a função zeta de Riemann de modo que esta se torne a função Z, de valor totalmente real, na reta crítica .
Análise da curva
A função teta de Riemann-Siegel é uma função analítica real ímpar para valores reais de , com três raízes em e . Ela é uma função crescente para e possui extremos locais em , com valor . Possui um único ponto de inflexão em com , que é o mínimo de sua derivada.
Teta como uma função de variável complexa Temos uma expressão em série infinita para a função log-gama
onde γ é a constante de Euler. Substituindo por z e tomando a parte imaginária termo a termo, obtemos a seguinte série para θ(t)
Para valores com parte imaginária entre −1 e 1, a função arco-tangente é holomorfa, e é fácil ver que a série converge uniformemente em conjuntos compactos na região com parte imaginária entre −1/2 e 1/2, levando a uma função holomorfa neste domínio. Segue-se que a função Z também é holomorfa nesta região, que é a faixa crítica.
Podemos usar as identidades
para obter a expressão em forma fechada
que estende nossa definição original para uma função holomorfa de t. Como o ramo principal de log Γ possui um único corte de ramo (branch cut) ao longo do eixo real negativo, θ(t) nesta definição herda cortes de ramo ao longo do eixo imaginário acima de i/2 e abaixo de −i/2.
+ Função teta de Riemann-Siegel no plano complexo1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none
Pontos de Gram A função zeta de Riemann na linha crítica pode ser escrita como
Se é um número real, então a função Z retorna valores reais.
Portanto, a função zeta na linha crítica será real em um zero, correspondendo a , ou quando . Valores reais positivos de onde este último caso ocorre são chamados de pontos de Gram, em homenagem a J. P. Gram, e podem, obviamente, também ser descritos como os pontos onde é um inteiro.
Um ponto de Gram é uma solução de
Estas soluções são aproximadas pela sequência:
onde é a função W de Lambert.
Aqui estão os menores pontos de Gram não negativos −3 0 0 −2 3{,}4362182261... −π −1 9{,}6669080561... −π 0 17{,}8455995405... 0 1 23{,}1702827012... π 2 27{,}6701822178... 2π 3 31{,}7179799547... 3π 4 35{,}4671842971... 4π 5 38{,}9992099640... 5π 6 42{,}3635503920... 6π 7 45{,}5930289815... 7π 8 48{,}7107766217... 8π 9 51{,}7338428133... 9π 10 54{,}6752374468... 10π 11 57{,}5451651795... 11π 12 60{,}3518119691... 12π 13 63{,}1018679824... 13π 14 65{,}8008876380... 14π 15 68{,}4535449175... 15π
A escolha do índice n é um pouco grosseira. Historicamente, ele é escolhido de tal forma que o índice seja 0 no primeiro valor que é maior que o menor zero positivo (na parte imaginária 14{,}13472515 ...) da função zeta de Riemann na linha crítica. Note que esta função oscila para argumentos reais pequenos em valor absoluto e, portanto, não é univocamente inversível no intervalo [−24, 24]. Assim, a função teta ímpar tem seu ponto de Gram simétrico com valor 0 no índice −3. Os pontos de Gram são úteis ao calcular os zeros de . Em um ponto de Gram
e se isso for positivo em dois pontos de Gram sucessivos, deve ter um zero no intervalo.
De acordo com a lei de Gram, a parte real é geralmente positiva, enquanto a parte imaginária se alterna com os pontos de Gram, entre valores positivos e negativos em intervalos razoavelmente regulares.
O número de raízes, , na faixa de 0 a T, pode ser encontrado por
onde é um termo de erro que cresce assintoticamente como .
Apenas se obedecesse à lei de Gram, então encontrar o número de raízes na faixa simplesmente se tornaria
Hoje sabemos que, a longo prazo, a lei de Gram falha em cerca de 1/4 de todos os intervalos de Gram no que diz respeito a conter exatamente 1 zero da função zeta de Riemann. Gram temia que ela pudesse falhar para índices maiores (a primeira falha ocorre no índice 126, antes do 127º zero) e, portanto, reivindicou isso apenas para índices não muito altos. Mais tarde, Hutchinson cunhou a expressão lei de Gram para a afirmação (falsa) de que todos os zeros na linha crítica seriam separados por pontos de Gram.
Ver também Função Z
Referências
Gabcke, W. (1979), Neue Herleitung und explizierte Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel. Tese, Universidade de Göttingen. Versão revisada (eDiss Göttingen 2015)
Ligações externas
Wolfram Research – Função teta de Riemann-Siegel (inclui plotagem e avaliação de funções)
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