Na geometria algébrica, o gênero geométrico é um invariante birracional básico de variedades algébricas e variedades complexas.

Definição

O gênero geométrico pode ser definido para variedades projetivas complexas não singulares e, de forma mais geral, para variedades complexas de dimensão como o número de Hodge (que é igual a pela dualidade de Serre), isto é, a dimensão do sistema linear canônico mais um.

Em outras palavras, para uma variedade de dimensão complexa , é o número de -formas holomorfas linearmente independentes que podem ser encontradas em .Danilov & Shokurov (1998), [ p. 53] Essa definição, como a dimensão de

estende-se então para qualquer corpo base, quando é tomado como sendo o feixe de diferenciais de Kähler e a potência é a potência exterior (máxima), o fibrado de linhas canônico.

O gênero geométrico é o primeiro invariante de uma sequência de invariantes chamada de plurigêneros.

Caso das curvas

No caso de variedades complexas, (os lugares geométricos complexos de) curvas não singulares são superfícies de Riemann. A definição algébrica de gênero concorda com a noção topológica. Em uma curva não singular, o fibrado de linhas canônico tem grau .

A noção de gênero tem destaque no enunciado do teorema de Riemann-Roch (ver também Teorema de Riemann-Roch para curvas algébricas) e da fórmula de Riemann-Hurwitz. Pelo teorema de Riemann-Roch, uma curva plana irredutível de grau tem gênero geométrico

onde é o número de singularidades, quando devidamente contadas.

Se é uma hipersuperfície irredutível (e lisa) no plano projetivo definida por uma equação polinomial de grau , então seu fibrado de linhas normal é o feixe de torção de Serre , de modo que, pela fórmula de adjunção, o fibrado de linhas canônico de é dado por:

Gênero de variedades singulares

A definição de gênero geométrico é estendida classicamente para curvas singulares , definindo que

é o gênero geométrico da normalização . Ou seja, uma vez que o mapeamento

é birracional, a definição é estendida por invariância birracional.

Ver também Gênero (matemática)

Notas

Referências

Categoria:Variedades algébricas