Em matemática, uma categoria tannakiana é um tipo particular de categoria monoidal C munida de estrutura adicional relativamente a um corpo K. Essas categorias generalizam a categoria das representações lineares de um grupo algébrico G definido sobre K. A teoria possui várias aplicações importantes — já realizadas ou potenciais — ligadas a algumas das principais conjecturas da geometria algébrica e da teoria dos números contemporâneas.
O nome provém de Tadao Tannaka e da dualidade de Tannaka–Krein, teoria referente a grupos compactos e às suas representações. O formalismo moderno foi desenvolvido inicialmente na escola de Alexander Grothendieck, sendo posteriormente reformulado e simplificado por Pierre Deligne. A estrutura conceitual segue o modelo da teoria de Galois de Grothendieck, que descreve representações de permutação finitas de grupos profinitos.
A ideia central é substituir o funtor fibra Φ da teoria de Galois por um funtor tensorial exato e fiel
para a categoria dos espaços vetoriais de dimensão finita sobre K. O grupo de transformações naturais de Φ em si mesmo — que, na teoria clássica, é um grupo profinito — é substituído por um grupo G de transformações naturais de F em si mesmo que preservam a estrutura tensorial. Em geral, G não é um grupo algébrico ordinário, mas sim um esquema de grupos mais geral obtido como limite inverso de grupos algébricos (um grupo pró-algébrico). Nesse caso, C é equivalente à categoria das representações lineares finito-dimensionais de G.
Mais geralmente, pode ocorrer que um funtor fibra como acima exista apenas após estender o corpo base para uma extensão L/K. Nessas situações, o esquema de grupos G é substituído por uma gerba sobre o sítio fpqc de Spec(K), e C torna-se equivalente à categoria das representações (finito-dimensionais) de .
Definição formal Seja K um corpo e C uma categoria abeliana rígida K-linear munida de estrutura tensorial (isto é, uma categoria monoidal simétrica) tal que
Então C é chamada categoria tannakiana (sobre K) se existir uma extensão de corpos L de K e um funtor exato e fiel tensorial K-linear
(isto é, um funtor monoidal forte).
Uma categoria tannakiana sobre K é dita neutra quando tal funtor existe já com L=K.
Aplicações A construção tannakiana aparece na relação entre estrutura de Hodge e representação l-ádica. De forma heurística, a filosofia dos motivos afirma que a estrutura de Hodge e a representação de Galois associadas a uma variedade algébrica estão intimamente relacionadas. Grupos algébricos associados — como o grupo de Mumford–Tate e o grupo de Galois motivico — surgem a partir de categorias de estruturas de Hodge, de representações de Galois e de motivos via formalismo tannakiano. A conjectura de Mumford–Tate prevê que os grupos algébricos obtidos desses dois tipos de dados sejam isomorfos (a menos de componentes conexas).
Essas aplicações estão profundamente ligadas à teoria dos motivos. Outro contexto relevante ocorre na conjectura da p-curvatura de Grothendieck–Katz, em particular no estudo e controle de grupos de monodromia.
A equivalência geométrica de Satake estabelece uma equivalência entre representações do grupo dual de Langlands de um grupo redutivo G e certas categorias de feixes perversos equivariantes no Grassmanniano afim associado a G. Essa equivalência fornece uma construção não combinatória do grupo dual de Langlands, demonstrando que a categoria envolvida é tannakiana e identificando o seu grupo dual com .
Extensões obteve resultados parciais de dualidade de Tannaka quando a categoria é R-linear para certos anéis de valoração R (e não apenas corpos). Posteriormente, desenvolveu uma versão da dualidade de Tannaka no contexto de ∞-categorias.
Referências
Leitura adicional M. Larsen; R. Pink. Determining representations from invariant dimensions. Inventiones Mathematicae, 102:377–389, 1990.
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