Na matemática, uma álgebra de Lie é solúvel se sua série derivada termina na subálgebra nula. A álgebra de Lie derivada da álgebra de Lie é a subálgebra de , denotada por

que consiste em todas as combinações lineares de colchetes de Lie de pares de elementos de . A série derivada é a sequência de subálgebras

Se a série derivada eventualmente chegar à subálgebra nula, então a álgebra de Lie é chamada de solúvel. A série derivada para álgebras de Lie é análoga à série derivada para subgrupos comutadores na teoria dos grupos, e as álgebras de Lie solúveis são análogas aos grupos solúveis.

Qualquer álgebra de Lie nilpotente é a fortiori solúvel, mas o inverso não é verdadeiro. As álgebras de Lie solúveis e as álgebras de Lie semissimples formam duas classes grandes e geralmente complementares, como é mostrado pela Decomposição de Levi. As álgebras de Lie solúveis são precisamente aquelas que podem ser obtidas a partir de produtos semidiretos, começando de 0 e adicionando uma dimensão de cada vez.

Uma subálgebra solúvel máxima é chamada de Subálgebra de Borel. O maior ideal solúvel de uma álgebra de Lie é chamado de radical.

Caracterizações Seja uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre um corpo de característica . As seguintes afirmações são equivalentes:

(i) é solúvel. (ii) , a representação adjunta de , é solúvel. (iii) Existe uma sequência finita de ideais de :

(iv) é nilpotente. Proposição 1.39. (v) Para de dimensão , existe uma sequência finita de subálgebras de :

com cada sendo um ideal em . Proposição 1.23. Uma sequência deste tipo é chamada de sequência elementar.

(vi) Existe uma sequência finita de subálgebras de ,

tal que é um ideal em e é abeliana.

(vii) A Forma de Killing de satisfaz para todo em e em . Proposição 1.46. Este é o critério de Cartan para solubilidade.

Propriedades O Teorema de Lie afirma que se for um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero, e for uma álgebra de Lie solúvel, e se for uma representação de sobre , então existe um autovetor simultâneo dos endomorfismos para todos os elementos . Teorema 1.25.

Toda subálgebra de Lie e quociente de uma álgebra de Lie solúvel são solúveis. Dada uma álgebra de Lie e um ideal nela, é solúvel se, e somente se, tanto quanto forem solúveis.

A afirmação análoga é verdadeira para álgebras de Lie nilpotentes desde que esteja contida no centro. Assim, uma extensão de uma álgebra solúvel por uma álgebra solúvel é solúvel, enquanto uma extensão central de uma álgebra nilpotente por uma álgebra nilpotente é nilpotente.

Uma álgebra de Lie solúvel não nula tem um ideal abeliano não nulo, o último termo não nulo na série derivada. Se são ideais solúveis, então também é. Consequentemente, se for de dimensão finita, então existe um único ideal solúvel contendo todos os ideais solúveis em . Este ideal é o radical de . Uma álgebra de Lie solúvel possui um único ideal nilpotente máximo , chamado de nilradical, o conjunto de todos os tais que é nilpotente. Se for qualquer derivação de , então . Proposição 1.40.

Álgebras de Lie completamente solúveis Uma álgebra de Lie é chamada de completamente solúvel ou solúvel cindida (split solvable) se possuir uma sequência elementar de ideais em de a . Uma álgebra de Lie nilpotente de dimensão finita é completamente solúvel, e uma álgebra de Lie completamente solúvel é solúvel. Sobre um corpo algebricamente fechado, uma álgebra de Lie solúvel é completamente solúvel, mas a álgebra de Lie real de dimensão 3 do grupo de isometrias euclidianas do plano é solúvel, mas não completamente solúvel.

Uma álgebra de Lie solúvel é solúvel cindida se, e somente se, os autovalores de estiverem em para todo em .

Exemplos

Álgebras de Lie abelianas Toda álgebra de Lie abeliana é solúvel por definição, uma vez que seu comutador . Isso inclui a álgebra de Lie de matrizes diagonais em , que são da formapara . A estrutura de álgebra de Lie em um espaço vetorial dada pelo colchete trivial para quaisquer duas matrizes fornece outro exemplo.

Álgebras de Lie nilpotentes Outra classe de exemplos vem das álgebras de Lie nilpotentes, já que a representação adjunta é solúvel. Alguns exemplos incluem as matrizes triangulares superiores, como a classe de matrizes da formachamada de álgebra de Lie das matrizes triangulares estritamente superiores. Além disso, a álgebra de Lie das matrizes triangulares superiores em forma uma álgebra de Lie solúvel. Ela inclui matrizes da formae é denotada por .

Solúvel, mas não solúvel cindida Seja o conjunto de matrizes da formaEntão é solúvel, mas não solúvel cindida. Ela é isomorfa à álgebra de Lie do grupo de translações e rotações no plano.

Não-exemplo Uma álgebra de Lie semissimples nunca é solúvel, visto que o seu radical , que é o maior ideal solúvel em , é trivial. página 11

Grupos de Lie solúveis Como o termo "solúvel" também é usado para grupos solúveis na teoria dos grupos, existem várias definições possíveis para um grupo de Lie solúvel. Para um grupo de Lie , há:

a terminação da série derivada usual do grupo (como um grupo abstrato); a terminação dos fechos da série derivada; o fato de possuir uma álgebra de Lie solúvel.

Ver também

Critério de Cartan Forma de Killing Teorema de Lie-Kolchin Variedade solúvel (Solvmanifold) Mapeamento de Dixmier

Bibliografia

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Ligações externas

Artigo da EoM Lie algebra, solvable Artigo da EoM Lie group, solvable

Categoria:Álgebra de Lie