Na matemática, mais especificamente na geometria diferencial, o teorema de de Rham afirma que o homomorfismo de anéis da coomologia de de Rham para a coomologia singular dado pela integração é um isomorfismo.
O Lema de Poincaré implica que a coomologia de de Rham é a coomologia de feixes com o feixe constante . Assim, por razões abstratas, a coomologia de de Rham é isomorfa como grupo à coomologia singular. Mas o teorema de de Rham oferece um isomorfismo mais explícito entre as duas coomologias; conectando assim a análise e a topologia de forma mais direta.
Enunciado
thumb|O homomorfismo de de Rham é bem definido porque para qualquer representando a mesma classe de homologia , logo e se for uma forma exata então
A parte central do teorema é uma construção do homomorfismo de de Rham. Seja uma variedade. Então existe uma aplicação
do espaço das -formas diferenciais para o espaço das -cocadeias singulares suaves dada por
A fórmula de Stokes implica: ; isto é, é uma aplicação de cadeias e, por isso, induz:
onde estas coomologias são as coomologias com coeficientes reais de e , respectivamente. Como se constata, é um homomorfismo de anéis e é chamado de homomorfismo de de Rham. Não é difícil demonstrar que o homomorfismo de de Rham é uma transformação natural entre o functor de coomologia de de Rham e o functor de coomologia singular.
Por fim, o teorema afirma que o homomorfismo induzido é um isomorfismo (ou seja, bijetivo).
Há também uma variante do teorema que diz que a coomologia de de Rham de é isomorfa como um anel com a coomologia de Čech desta.Appendix D. to Esta versão de Čech é essencialmente devida a André Weil.
Discussão
Ao considerar coomologias singulares com coeficientes em outro grupo abeliano, por exemplo, os inteiros, então, é claro, não se deve esperar um isomorfismo semelhante. A Garrafa de Klein, por exemplo, tem um grupo de homologia , e como a coomologia com coeficientes reais não contabiliza quaisquer grupos finitos (de forma mais geral, de torção), temos que . Isso, de fato, coincide com o grupo de coomologia de de Rham correspondente.
Conforme afirmado acima, o homomorfismo de de Rham é um isomorfismo entre a coomologia de de Rham e a coomologia singular suave com coeficientes reais, isto é, a coomologia com relação às cadeias suaves. No entanto, um resultado técnico implica que os grupos de homologia singular coincidem com os grupos de homologia singular suave. Isso mostra que o teorema de de Rham, na verdade, implica isomorfismo entre a coomologia de de Rham e os grupos de coomologia singular (não suave) (com coeficientes reais).
Ideia da demonstração Uma demonstração segue aproximadamente estas ideias: Chame uma variedade de "de Rham", se o teorema se mantiver para ela. Chame uma cobertura aberta de uma variedade de "cobertura de de Rham", se todos os elementos da cobertura forem de Rham, assim como todas as suas interseções finitas. Mostra-se que os conjuntos convexos em são de Rham, basicamente pela invariância de homotopia de ambas as coomologias em questão. A seguir, mostra-se de forma indutiva que as variedades que têm cobertura finita de de Rham são de Rham, usando a sequência de Mayer-Vietoris. Depois, o resultado é estendido para variedades que têm uma base que é uma cobertura de de Rham. Esse passo é mais técnico. Finalmente, mostra-se facilmente que os subconjuntos abertos de e consequentemente qualquer variedade têm uma base que é uma cobertura de de Rham. Assim, ao invocar o passo anterior, a demonstração é finalizada.
Aqui está outro esboço da prova, baseado na teoria de feixes: Há dois complexos importantes de feixes em nossa variedade (em quais categorias esses complexos vivem é um problema sutil, vamos ser vagos no início). O primeiro é o complexo de de Rham , o qual é dado pelos feixes de formas diferenciais de classe em . O segundo é o complexo singular , que é o dado pelos feixes de cocadeias singulares de , e é a versão relativa sobre do complexo de cocadeias de grupos abelianos. A integração sobre simplexos nos dá um morfismo de feixes de complexos . Visto que ambos os objetos admitem partição da unidade, é um fato padrão que as segundas páginas das sequências espectrais de hipercoomologia de ambos tenham apenas uma coluna não-nula cada, deste modo, as hipercoomologias dos dois complexos de feixes calculam de fato a coomologia de de Rham e a coomologia singular de . Por conseguinte, para provar o teorema de de Rham, é suficiente mostrar que é um isomorfismo. Para esse fim, notamos que existem morfismos naturais do feixe constante para e , e que o triângulo óbvio comuta. Ademais, pela contratibilidade local tanto da coomologia de de Rham quanto da coomologia singular, os morfismos naturais são, de fato, isomorfismos. Pela comutatividade do triângulo, mostramos a isomorfia desejada de , e a prova está completa, exceto que precisamos retornar ao problema sutil do início: em qual categoria de feixes de complexos o argumento acima faz sentido? Como usamos a contratibilidade local de coomologias para concluir a isomorfia dos dois morfismos partindo de , a categoria atual de feixes de complexos não pode funcionar, e precisamos passar para a categoria derivada. Contudo, embora o resultado final seja verdadeiro na 1-categoria derivada triangulada, para que o argumento acima funcione bem, a 1-categoria derivada não é o bastante. Por exemplo, isomorfismos na 1-categoria derivada não podem ser checados localmente sobre , mas nós concluímos a isomorfia dos dois morfismos que saem de verificando-a localmente. Em suma, precisamos de uma categoria que, por um lado, torne os isomorfismos coomológicos em isomorfismos reais, e, por outro lado, satisfaça a descida. A -categoria derivada acaba se revelando a noção correta.
Versão com homologia singular Há também uma versão do teorema envolvendo homologia singular ao invés de coomologia. Ela afirma que o emparelhamento
induz um emparelhamento perfeito entre a coomologia de de Rham e a homologia singular (suave); especificamente,
é um isomorfismo de espaços vetoriais.
Este teorema tem a seguinte consequência (familiar a partir do cálculo); nomeadamente, uma forma diferencial fechada é exata se e somente se as integrações dela sobre ciclos arbitrários forem todas iguais a zero. Para uma 1-forma, isso significa que uma 1-forma fechada é exata (ou seja, admite uma função potencial) se e somente se for independente de um caminho . Esta é exatamente uma afirmação encontrada no cálculo.
Versão de correntes Há também uma versão de correntes (uma forma diferencial com coeficientes distribucionais) do teorema de de Rham, a qual afirma que a coomologia singular pode ser calculada como a coomologia do complexo de correntes. Esta versão é mais fraca no sentido de que o isomorfismo não é um homomorfismo de anéis (visto que correntes não podem ser multiplicadas e, assim, o espaço de correntes não é um anel).
Referências
Bibliografia
Categoria:Teoremas na geometria diferencial