O equilíbrio competitivo (também chamado de equilíbrio walrasiano) é um conceito de equilíbrio econômico, introduzido por Kenneth Arrow e Gérard Debreu em 1951,K. Arrow, ‘An Extension of the Basic Theorems of Classical Welfare Economics’ (1951); G. Debreu, ‘The Coefficient of Resource Utilization’ (1951) apropriado para a análise de mercados de commodities com preços flexíveis e muitos negociantes, servindo como padrão de referência de eficiência na análise econômica. Ele depende crucialmente da premissa de um ambiente competitivo onde cada negociante decide sobre uma quantidade que é tão pequena comparada à quantidade total negociada no mercado que suas transações individuais não têm influência sobre os preços. Mercados competitivos são um padrão ideal pelo qual outras estruturas de mercado são avaliadas.
Definições Um equilíbrio competitivo (EC) consiste em dois elementos:
Uma função de preço . Ela toma como argumento um vetor que representa uma cesta de mercadorias e retorna um número real positivo que representa seu preço. Geralmente a função de preço é linear - é representada como um vetor de preços, um preço para cada tipo de mercadoria. Uma matriz de alocação . Para todo , é o vetor de mercadorias alocado ao agente .
Esses elementos devem satisfazer o seguinte requisito:
Satisfação (livre de inveja de mercado): Cada agente prefere fracamente sua cesta a qualquer outra cesta acessível:
, se então .
Frequentemente, há uma matriz de dotação inicial : para todo , é a dotação inicial do agente . Então, um EC deve satisfazer alguns requisitos adicionais:
Compensação de Mercado (ou Limpeza de Mercado): a demanda é igual à oferta, nenhum item é criado ou destruído:
.
Racionalidade Individual: todos os agentes ficam em melhor situação após a troca do que antes da troca:
.
Equilíbrio Orçamentário: todos os agentes podem arcar com sua alocação dada a sua dotação:
.
Definição 2 Esta definição permite explicitamente a possibilidade de que pode haver múltiplas matrizes de mercadorias que são igualmente atraentes. Também para preços zero. Uma definição alternativa baseia-se no conceito de um conjunto de demanda. Dada uma função de preço P e um agente com uma função de utilidade U, uma certa cesta de bens x está no conjunto de demanda do agente se: para toda outra cesta y. Um equilíbrio competitivo é uma função de preço P e uma matriz de alocação X tal que:
A cesta alocada por X a cada agente está no conjunto de demanda desse agente para o vetor de preços P; Todo bem que tem um preço positivo é totalmente alocado (ou seja, todo item não alocado tem preço 0).
Equilíbrio aproximado Em alguns casos, é útil definir um equilíbrio no qual a condição de racionalidade é relaxada. Dado um valor positivo (medido em unidades monetárias, por exemplo, dólares), um vetor de preços e uma cesta , defina como um vetor de preços no qual todos os itens em x têm o mesmo preço que têm em P, e todos os itens que não estão em x têm o preço a mais do que seu preço em P.
Em um equilíbrio competitivo , a cesta x alocada a um agente deve estar no conjunto de demanda desse agente para o vetor de preços modificado, .
Esta aproximação é realista quando há comissões de compra/venda. Por exemplo, suponha que um agente tenha que pagar dólares para comprar uma unidade de um item, além do preço desse item. Esse agente manterá sua cesta atual desde que ela esteja no conjunto de demanda para o vetor de preços . Isso torna o equilíbrio mais estável.
Exemplos Os exemplos a seguir envolvem uma economia de troca com dois agentes, Jane e Kelvin, dois bens, por exemplo, bananas (x) e maçãs (y), e sem dinheiro. direita|300x300px|Equilíbrio competitivo representado numa Caixa de Edgeworth 1. Exemplo gráfico: Suponha que a alocação inicial esteja no ponto X, onde Jane tem mais maçãs do que Kelvin e Kelvin tem mais bananas do que Jane.
Olhando para suas curvas de indiferença de Jane e de Kelvin, podemos ver que este não é um equilíbrio - ambos os agentes estão dispostos a negociar entre si aos preços e . Após a negociação, tanto Jane quanto Kelvin movem-se para uma curva de indiferença que retrata um nível mais alto de utilidade, e . As novas curvas de indiferença se interceptam no ponto E. A inclinação da tangente de ambas as curvas é igual a -.
E a ; . A taxa marginal de substituição (TMS) de Jane é igual à de Kelvin. Portanto, a sociedade de 2 indivíduos atinge a Eficiência de Pareto, onde não há como melhorar a situação de Jane ou Kelvin sem piorar a do outro.
2. Exemplo aritmético: suponha que ambos os agentes tenham utilidades Cobb-Douglas:
onde são constantes.
Suponha que a dotação inicial seja .
A função de demanda de Jane para x é:
A função de demanda de Kelvin para x é:
A condição de compensação de mercado para x é:
Esta equação produz a razão de preço de equilíbrio:
Poderíamos fazer um cálculo semelhante para y, mas isso não é necessário, pois a Lei de Walras garante que os resultados serão os mesmos. Note que no EC, apenas os preços relativos são determinados; podemos normalizar os preços, por exemplo, exigindo que . Então obtemos . Mas qualquer outra normalização também funcionará.
3. Exemplo de não-existência: Suponha que as utilidades dos agentes sejam:
e a dotação inicial é [(2,1),(2,1)]. No EC, todo agente deve ter apenas x ou apenas y (o outro produto não contribui em nada para a utilidade, então o agente gostaria de trocá-lo). Assim, as únicas alocações de EC possíveis são [(4,0),(0,2)] e [(0,2),(4,0)]. Como os agentes têm a mesma renda, necessariamente . Mas então, o agente que possui 2 unidades de y vai querer trocá-las por 4 unidades de x.
4. Para exemplos de existência e não-existência envolvendo utilidades lineares, veja Utilidade linear#Exemplos.
Itens indivisíveis Quando há itens indivisíveis na economia, é comum assumir que também há dinheiro, que é divisível. Os agentes possuem funções de utilidade quase-linear: sua utilidade é a quantidade de dinheiro que possuem mais a utilidade da cesta de itens que detêm.
A. Item único: Alice tem um carro que ela avalia em 10. Bob não tem carro e avalia o carro de Alice em 20. Um EC possível é: o preço do carro é 15, Bob fica com o carro e paga 15 para Alice. Isso é um equilíbrio porque o mercado é compensado e ambos os agentes preferem sua cesta final à sua cesta inicial. Na verdade, todo preço entre 10 e 20 será um preço de EC, com a mesma alocação. A mesma situação se aplica quando o carro não é inicialmente de propriedade da Alice, mas sim em um leilão no qual Alice e Bob são compradores: o carro irá para Bob e o preço ficará em qualquer lugar entre 10 e 20.
Por outro lado, qualquer preço abaixo de 10 não é um preço de equilíbrio porque há um excesso de demanda (tanto Alice quanto Bob querem o carro a esse preço), e qualquer preço acima de 20 não é um preço de equilíbrio porque há um excesso de oferta (nem Alice nem Bob querem o carro a esse preço).
Este exemplo é um caso especial de um leilão duplo.
B. Substitutos: Um carro e um cavalo são vendidos em um leilão. Alice só se importa com o transporte, então para ela estes são substitutos perfeitos: ela obtém utilidade 8 com o cavalo, 9 com o carro, e se ela tiver ambos, ela usa apenas o carro, então sua utilidade é 9. Bob obtém uma utilidade de 5 com o cavalo e 7 com o carro, mas se ele tiver ambos, sua utilidade é 11, pois ele também gosta do cavalo como animal de estimação. Neste caso, é mais difícil encontrar um equilíbrio (veja abaixo). Um equilíbrio possível é que Alice compre o cavalo por 5 e Bob compre o carro por 7. Isso é um equilíbrio, pois Bob não gostaria de pagar 5 pelo cavalo, o que lhe daria apenas 4 de utilidade adicional, e Alice não gostaria de pagar 7 pelo carro, o que lhe daria apenas 1 de utilidade adicional.
C. Complementos: Um cavalo e uma carruagem são vendidos em um leilão. Existem dois compradores em potencial: AND e XOR. AND quer apenas o cavalo e a carruagem juntos - ele recebe uma utilidade de por possuir ambos, mas uma utilidade de 0 por possuir apenas um deles. XOR quer o cavalo ou a carruagem, mas não precisa de ambos - ele recebe uma utilidade de por possuir um deles e a mesma utilidade por possuir ambos. Aqui, quando , um equilíbrio competitivo NÃO existe, ou seja, nenhum preço compensará o mercado. Prova: considere as seguintes opções para a soma dos preços (preço do cavalo + preço da carruagem):
A soma é menor que . Então, AND quer ambos os itens. Como o preço de pelo menos um item é menor que , XOR quer esse item, então há excesso de demanda. A soma é exatamente . Então, AND é indiferente entre comprar ambos os itens e não comprar nenhum item. Mas XOR ainda quer exatamente um item, então há excesso de demanda ou excesso de oferta. A soma é maior que . Então, AND não quer nenhum item e XOR ainda quer no máximo um único item, então há excesso de oferta.
D. Consumidores de demanda unitária: Existem n consumidores. Cada consumidor tem um índice . Existe um único tipo de bem. Cada consumidor quer no máximo uma única unidade do bem, o que lhe dá uma utilidade de . Os consumidores são ordenados de tal forma que é uma função fracamente crescente de . Se a oferta for de unidades, então qualquer preço satisfazendo é um preço de equilíbrio, já que há k consumidores que querem comprar o produto ou são indiferentes entre comprá-lo e não comprá-lo. Note que um aumento na oferta causa uma diminuição no preço.
Existência de um equilíbrio competitivo
Recursos divisíveis O Modelo Arrow-Debreu mostra que um EC existe em toda economia de troca com bens divisíveis satisfazendo as seguintes condições:
Todos os agentes possuem preferências estritamente convexas; Todos os bens são desejáveis. Isso significa que, se algum bem for dado de graça (), então todos os agentes vão querer o máximo possível desse bem.
A prova prossegue em várias etapas.
A. Para maior concretude, assuma que existem agentes e bens divisíveis. Normalize os preços de forma que sua soma seja 1, ou seja, . Então, o espaço de todos os preços possíveis é o simplex padrão -dimensional em . Chamamos esse simplex de simplex de preços.
B. Seja a função de excesso de demanda. Esta é uma função do vetor de preços quando a dotação inicial é mantida constante:
Sabe-se que, quando os agentes têm preferências estritamente convexas, a Função de demanda marshalliana é contínua. Portanto, também é uma função contínua de .
C. Defina a seguinte função do simplex de preços para ele mesmo:
Esta é uma função contínua, então pelo Teorema do ponto fixo de Brouwer existe um vetor de preços tal que:
logo,
D. Usando a Lei de Walras e um pouco de álgebra, é possível mostrar que para este vetor de preços, não há excesso de demanda em nenhum produto, isto é:
E. A premissa de desejabilidade implica que todos os produtos têm preços estritamente positivos:
Pela Lei de Walras, . Mas isso implica que a desigualdade acima deve ser uma igualdade:
Isso significa que é um vetor de preços de um equilíbrio competitivo.
Note que as utilidades lineares são apenas fracamente convexas, então elas não se qualificam para o Modelo Arrow-Debreu. No entanto, David Gale provou que um EC existe em toda economia de troca linear satisfazendo certas condições. Para detalhes, veja Utilidade linear#Existência de equilíbrio competitivo.
Algoritmos para calcular o equilíbrio de mercado são descritos em computação de equilíbrio de mercado.
Itens indivisíveis Nos exemplos acima, um equilíbrio competitivo existia quando os itens eram substitutos, mas não quando os itens eram complementos. Isso não é uma coincidência.