Em matemática, dado um grupo , um G-módulo é um grupo abeliano sobre o qual age de modo compatível com a estrutura de grupo abeliano de . Essa noção, de ampla aplicabilidade, generaliza a de uma representação de . A co-homologia de grupos fornece um importante conjunto de ferramentas para o estudo de -módulos em geral.

O termo G''-módulo também é usado para a noção mais geral de um -módulo sobre o qual age linearmente (isto é, como um grupo de automorfismos de -módulos).

Definição e noções básicas Seja um grupo. Um -módulo à esquerda consiste em um grupo abeliano juntamente com uma ação de grupo à esquerda tal que

para todos e em e todo em , onde denota . Um -módulo à direita é definido de maneira semelhante. Dado um -módulo à esquerda , ele pode ser transformado em um -módulo à direita definindo-se .

Uma função é chamada de morfismo de -módulos (ou um mapa -linear, ou um -homomorfismo) se é ao mesmo tempo um homomorfismo de grupos e -equivariante.

A coleção dos -módulos à esquerda (respectivamente à direita) e seus morfismos forma uma categoria abeliana (resp. ). A categoria (resp. ) pode ser identificada com a categoria dos -módulos à esquerda (resp. à direita), isto é, com os módulos sobre o anel de grupo .

Um submódulo de um -módulo é um subgrupo que é estável sob a ação de , isto é, para todos e . Dado um submódulo de , o módulo quociente é o grupo quociente com ação .

Exemplos Dado um grupo , o grupo abeliano é um -módulo com a ação trivial'' . Seja o conjunto das formas quadráticas binárias , com inteiros, e seja (o grupo linear especial 2×2 sobre ). Defina

onde

e é a multiplicação de matrizes. Então é um -módulo estudado por Gauss. De fato, temos

Se é uma representação de sobre um corpo , então é um -módulo (é um grupo abeliano sob adição).

Grupos topológicos Se é um grupo topológico e é um grupo topológico abeliano, então um -módulo topológico é um -módulo em que a aplicação da ação é contínua (onde se toma a topologia produto em ).

Em outras palavras, um -módulo topológico é um grupo topológico abeliano juntamente com uma aplicação contínua que satisfaz as relações usuais , e .

Referências

Categoria:Teoria dos grupos Categoria:Teoria de representação