Em matemática, a conjectura de Hilbert–Pólya afirma que os zeros não triviais da função zeta de Riemann correspondem a autovalores de um operador autoadjunto. Trata-se de uma possível abordagem para a hipótese de Riemann, por meio da teoria espectral.

História Em uma carta a Andrew Odlyzko, datada de 3 de janeiro de 1982, George Pólya disse que, enquanto esteve em Göttingen por volta de 1912 a 1914, foi perguntado por Edmund Landau sobre uma razão física para que a hipótese de Riemann devesse ser verdadeira, e sugeriu que isso ocorreria se as partes imaginárias t dos zeros

da função zeta de Riemann correspondessem a autovalores de um operador autoadjunto.. A mais antiga formulação publicada da conjectura parece estar em ..

David Hilbert não trabalhou nas áreas centrais da teoria analítica dos números, mas seu nome passou a ser associado à conjectura de Hilbert–Pólya devido a uma história contada por Ernst Hellinger, aluno de Hilbert, a André Weil. Hellinger disse que Hilbert anunciou em seu seminário, no começo dos anos 1900, que esperava que a hipótese de Riemann fosse uma consequência do trabalho de Fredholm sobre equações integrais com núcleo simétrico.

Década de 1950 e a fórmula do traço de Selberg

Na época da conversa de Pólya com Landau, havia pouca base para tal especulação. No entanto, Selberg, no início da década de 1950, provou uma dualidade entre o espectro de comprimentos de uma superfície de Riemann e os autovalores de seu laplaciano. Essa chamada fórmula do traço de Selberg apresentava uma semelhança notável com as fórmulas explícitas, o que deu credibilidade à conjectura de Hilbert–Pólya.

Década de 1970 e matrizes aleatórias

Hugh Montgomery investigou e descobriu que a distribuição estatística dos zeros na reta crítica possui uma certa propriedade, hoje chamada conjectura da correlação em pares de Montgomery. Os zeros tendem a não se agrupar excessivamente, mas sim a se repelirem. Em visita ao Institute for Advanced Study em 1972, ele mostrou esse resultado a Freeman Dyson, um dos fundadores da teoria de matrizes aleatórias.

Dyson percebeu que a distribuição estatística encontrada por Montgomery parecia ser a mesma que a distribuição de correlação em pares dos autovalores de uma matriz hermitiana aleatória. Essas distribuições são importantes na física — os autoestados de um hamiltoniano, por exemplo os níveis de energia de um núcleo atômico, satisfazem tais estatísticas. Trabalhos posteriores confirmaram fortemente a conexão entre a distribuição dos zeros da função zeta de Riemann e os autovalores de uma matriz hermitiana aleatória retirada do ensemble unitário gaussiano, e hoje se acredita que ambos obedeçam às mesmas estatísticas. Assim, a conjectura de Hilbert–Pólya passou a ter uma base mais sólida, embora ainda não tenha levado a uma demonstração da hipótese de Riemann..

Desenvolvimentos posteriores

Em 1998, Alain Connes formulou uma fórmula do traço que é, de fato, equivalente à hipótese de Riemann. Isso fortaleceu a analogia com a fórmula do traço de Selberg a ponto de fornecer enunciados precisos. Ele dá uma interpretação geométrica da fórmula explícita da teoria dos números como uma fórmula do traço na geometria não comutativa das classes de adeles..

Possível conexão com a mecânica quântica Uma possível conexão do operador de Hilbert–Pólya com a mecânica quântica foi dada por Pólya. O operador da conjectura de Hilbert–Pólya é da forma , onde é o hamiltoniano de uma partícula de massa movendo-se sob a influência de um potencial . A conjectura de Riemann é equivalente à afirmação de que o hamiltoniano é hermitiano, ou, equivalentemente, que é real.

Usando teoria de perturbações de primeira ordem, a energia do n-ésimo autoestado está relacionada ao valor esperado do potencial:

onde e são os autovalores e autoestados do hamiltoniano da partícula livre. Essa equação pode ser tomada como uma equação integral de Fredholm de primeira espécie, com as energias . Tais equações integrais podem ser resolvidas por meio do núcleo resolvente, de modo que o potencial pode ser escrito como

onde é o núcleo resolvente, é uma constante real e

onde é a função delta de Dirac, e os são as raízes “não triviais” da função zeta, .

Michael Berry e Jonathan Keating especularam que o hamiltoniano H é na verdade alguma quantização do hamiltoniano clássico xp, onde p é o momento canônico associado a x.. O operador hermitiano mais simples correspondente a xp é

Esse refinamento da conjectura de Hilbert–Pólya é conhecido como a conjectura de Berry (ou conjectura de Berry–Keating). Em 2008, ela ainda estava longe de ser concreta, pois não está claro sobre qual espaço esse operador deveria agir para produzir a dinâmica correta, nem como regularizá-lo para obter as correções logarítmicas esperadas. Berry e Keating conjecturaram que, como esse operador é invariante por dilatações, talvez a condição de contorno f(nx) = f(x) para inteiro n pudesse ajudar a obter os resultados assintóticos corretos válidos para n grande .

Um artigo foi publicado em março de 2017, escrito por Carl M. Bender, Dorje C. Brody e Markus P. Müller,. que se apoia na abordagem de Berry para o problema. Ali foi introduzido o operador

que, segundo os autores, satisfaz certas versões modificadas das condições da conjectura de Hilbert–Pólya. Jean Bellissard criticou esse artigo, e os autores responderam com esclarecimentos..

Referências

Leitura adicional . . . Aqui o autor explica em que sentido o problema de Hilbert–Pólya está relacionado ao problema da fórmula do traço de Gutzwiller e qual seria o valor da soma tomada sobre as partes imaginárias dos zeros.

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