O termo matemático feixes perversos refere-se aos objetos de certas categorias abelianas associadas a espaços topológicos, que podem ser uma variedade real ou complexa, ou espaços topologicamente estratificados mais gerais, possivelmente singulares.
O conceito foi introduzido no trabalho de Joseph Bernstein, Alexander Beilinson, Pierre Deligne e Ofer Gabber (1982) como consequência da correspondência de Riemann–Hilbert, que estabelece uma ligação entre as categorias derivadas de D-módulos holonômicos regulares e feixes construtíveis. Os feixes perversos são os objetos, na segunda dessas categorias, que correspondem a D-módulos individuais (e não a complexos mais gerais deles); um feixe perverso é, em geral, representado por um complexo de feixes. O conceito de feixes perversos já está implícito em um artigo de Kashiwara dos anos 1970 sobre a construtibilidade das soluções de D-módulos holonômicos.
Uma observação-chave foi que a homologia de interseção de Mark Goresky e Robert MacPherson podia ser descrita usando complexos de feixes que são, de fato, feixes perversos. Desde o início ficou claro que os feixes perversos são objetos matemáticos fundamentais no cruzamento entre geometria algébrica, topologia, análise e equações diferenciais. Eles também desempenham um papel importante na teoria dos números, na álgebra e na teoria das representações.
Observações preliminares
O nome feixe perverso surge como tradução aproximada do francês "faisceaux pervers".Les faisceaux pervers n'etant ni des faisceaux, ni pervers, la terminologie requiert une explication. BBD, p. 10 A justificativa é que feixes perversos são complexos de feixes que têm várias características em comum com feixes: formam uma categoria abeliana, têm cohomologia, e, para construir um, basta construí-lo localmente em toda parte. O adjetivo “perverso” tem origem na teoria da homologia de interseção,What is the etymology of the term "perverse sheaf"? – MathOverflow e sua origem foi explicada por .
A definição de feixe perverso de Beilinson–Bernstein–Deligne–Gabber procede por meio do maquinário das categorias trianguladas na álgebra homológica e tem um caráter algébrico muito forte, embora os principais exemplos oriundos da teoria de Goresky–MacPherson sejam de natureza topológica, porque os objetos simples na categoria dos feixes perversos são os complexos de cohomologia de interseção. Isso motivou MacPherson a reformular toda a teoria em termos geométricos com base na teoria de Morse. Para muitas aplicações em teoria das representações, os feixes perversos podem ser tratados como uma “caixa-preta”, isto é, uma categoria com certas propriedades formais.
Definição e exemplos Um feixe perverso é um objeto C da categoria derivada limitada de feixes com cohomologia construtível em um espaço X tal que o conjunto dos pontos x para os quais
ou
tem dimensão real no máximo 2i, para todo i. Aqui, jx é a aplicação de inclusão do ponto x.
Se X é uma variedade algébrica complexa suave e de dimensão d em toda parte, então
é um feixe perverso para qualquer sistema local . Se X é um esquema plano, interseção completa local (por exemplo, regular), sobre um anel de valorização discreta henseliano, então o feixe constante deslocado por é um feixe perverso étale.
Um exemplo simples Seja X um disco em torno da origem em , estratificado de tal modo que a origem seja o único estrato singular. Então a categoria dos feixes perversos em X é equivalente à categoria dos diagramas de espaços vetoriais em que e são inversíveis.Corollary 3.2. of A. Beilinson. How to glue perverse sheaves. In: K-theory, arithmetic and geometry (Moscow, 1984), Lecture Notes in Math. 1289, Springer-Verlag, 1987, 42 – 51. Mais geralmente, quivers podem ser usados para descrever feixes perversos.
Propriedades A categoria dos feixes perversos é uma subcategoria abeliana da categoria derivada de feixes (que não é abeliana), igual ao coração de uma t-estrutura adequada, e é preservada pela dualidade de Verdier.
A categoria derivada limitada de feixes perversos l-ádicos em um esquema X é equivalente à categoria derivada de feixes construtíveis, e de modo semelhante para feixes sobre o espaço analítico complexo associado a um esquema X/C.
Aplicações Feixes perversos são uma ferramenta fundamental para a geometria de espaços singulares. Por isso, são aplicados em várias áreas da matemática. Na correspondência de Riemann–Hilbert, feixes perversos correspondem a D-módulos holonômicos regulares. Essa aplicação estabelece a noção de feixe perverso como algo que surge “na natureza”. O teorema da decomposição, uma extensão de grande alcance da decomposição do teorema de Lefschetz duro, requer o uso de feixes perversos. Módulos de Hodge são, grosso modo, um refinamento hodgeano de feixes perversos. A equivalência geométrica de Satake identifica feixes perversos equivariantes no grassmanniano afim com representações do grupo dual de Langlands de um grupo redutivo G — ver . Uma prova das conjecturas de Weil usando feixes perversos é dada em .
Teoria das cordas Campos sem massa em compactificações de supercordas foram identificados com classes de cohomologia no espaço-alvo (isto é, o espaço de Minkowski quadridimensional com uma variedade de Calabi–Yau (CY) de seis dimensões). A determinação do conteúdo de matéria e de interação requer uma análise detalhada da (co)homologia desses espaços: quase todos os campos sem massa no modelo efetivo da física são representados por certos elementos de (co)homologia.
Entretanto, surge uma consequência problemática quando o espaço-alvo é singular. Um espaço-alvo singular significa que apenas a parte variedade CY é singular, já que o fator espaço de Minkowski é suave. Uma tal variedade de Calabi–Yau singular é chamada de conifold, pois é uma variedade CY que admite singularidades cônicas.
Andrew Strominger observou (A. Strominger, 1995) que conifolds correspondem a buracos negros sem massa. Conifolds são objetos importantes na teoria das cordas: Brian Greene explica a física dos conifolds no capítulo 13 de seu livro The Elegant Universe, incluindo o fato de que o espaço pode se rasgar perto do cone e sua topologia pode mudar. Esses espaços-alvo singulares, isto é, conifolds, correspondem a certas degenerações brandas de variedades algébricas que aparecem em uma grande classe de teorias supersimétricas, incluindo a teoria das supercordas (E. Witten, 1982).
Essencialmente, diferentes teorias de cohomologia em espaços-alvo singulares produzem resultados diferentes, o que dificulta determinar qual teoria a física pode favorecer. Várias características importantes da cohomologia, que correspondem aos campos sem massa, baseiam-se em propriedades gerais das teorias de campos, especificamente as teorias de campos bidimensionais de folha de mundo (2,2)-supersimétricas. Essas propriedades, conhecidas como o pacote kähleriano (T. Hubsch, 1992), deveriam valer tanto para espaços-alvo singulares quanto suaves. Paul Green e Tristan Hubsch (P. Green & T. Hubsch, 1988) determinaram que a maneira de passar entre espaços-alvo CY singulares exige passar por uma pequena resolução ou deformação da singularidade (T. Hubsch, 1992), e chamaram isso de “transição de conifold”.
Tristan Hubsch (T. Hubsch, 1997) conjecturou qual deveria ser essa teoria de cohomologia para espaços-alvo singulares. Tristan Hubsch e Abdul Rahman (T. Hubsch e A. Rahman, 2005) trabalharam para resolver a conjectura de Hubsch analisando o caso não transversal do modelo sigma linear calibrado de Witten (E. Witten, 1993), que induz uma estratificação dessas variedades algébricas (denominada variedade de estado fundamental) no caso de singularidades cônicas isoladas.
Sob certas condições, determinou-se que essa variedade de estado fundamental era um conifold (P. Green & T. Hubsch, 1988; T. Hubsch, 1992), com singularidades cônicas isoladas sobre uma certa base, com uma exocurva unidimensional (denominada exoestrato) anexada a cada ponto singular. T. Hubsch e A. Rahman determinaram a (co)-homologia dessa variedade de estado fundamental em todas as dimensões, encontraram-na compatível com a simetria-espelho e a teoria das cordas, mas encontraram uma obstrução na dimensão média (T. Hubsch e A. Rahman, 2005). Essa obstrução exigiu revisitar a conjectura de Hubsch de uma cohomologia singular cordística (T. Hubsch, 1997). No inverno de 2002, T. Hubsch e A. Rahman encontraram-se com R.M. Goresky para discutir essa obstrução e, nas discussões entre R.M. Goresky e R. MacPherson, R. MacPherson observou que existia tal feixe perverso que poderia ter a cohomologia que satisfazia a conjectura de Hubsch e resolvia a obstrução. R.M. Goresky e T. Hubsch orientaram a tese de doutorado de A. Rahman sobre a construção de um feixe perverso autodual (A. Rahman, 2009), usando a construção zig-zag de MacPherson-Vilonen (R. MacPherson & K. Vilonen, 1986). Esse feixe perverso provou a conjectura de Hübsch para singularidades cônicas isoladas, satisfez a dualidade de Poincaré e concordou com algumas das propriedades do pacote kähleriano. A satisfação de todo o pacote kähleriano por esse feixe perverso para estratos de codimensão mais alta ainda é um problema em aberto. Markus Banagl (M. Banagl, 2010; M. Banagl et al., 2014) abordou a conjectura de Hubsch por meio de espaços de interseção para estratos de codimensão mais alta, inspirado pelo trabalho de Hubsch (T. Hubsch, 1992, 1997; P. Green e T. Hubsch, 1988) e pela formulação original de A. Rahman (A. Rahman, 2009) para singularidades isoladas.
Ver também Módulo de Hodge misto Feixe perverso misto Homologia de interseção Cohomologia L² Conifold Teoria das cordas Supersimetria
Referêcias
Bibliografia
Leitura adicional Intersection homology and perverse sheaves, notas de Bruno Klingler.
Categoria:Álgebra homológica