Em matemática, um módulo de Galois é um módulo G, sendo G o grupo de Galois (nomeado em homenagem a Évariste Galois) de alguma extensão de corpos. O termo representação de Galois é usado com frequência quando o módulo G é um espaço vetorial sobre um corpo ou um módulo livre sobre um anel em teoria das representações, mas também pode ser usado como sinônimo de módulo G. O estudo dos módulos de Galois para extensões de corpos locais ou globais e de sua cohomologia de grupos é uma ferramenta importante em teoria dos números.

Exemplos Dado um corpo K, o grupo multiplicativo de um fecho separável de K é um módulo de Galois para o grupo de Galois absoluto. Seu segundo grupo de cohomologia é isomorfo ao grupo de Brauer de K (pelo teorema 90 de Hilbert, seu primeiro grupo de cohomologia é zero). Se X é um esquema suave e próprio sobre um corpo K, então os grupos de cohomologia ℓ-ádica da sua fibra geométrica são módulos de Galois para o grupo de Galois absoluto de K.

Teoria da ramificação Seja K um corpo valuado (com valuação denotada por v) e seja L/K uma extensão finita de Galois com grupo de Galois G. Para uma extensão w de v a L, seja Iw seu grupo de inércia. Um módulo de Galois ρ : G → Aut(V) é dito não ramificado se ρ(Iw) = {1}.

Estrutura de módulo de Galois dos inteiros algébricos Na teoria algébrica dos números clássica, seja L uma extensão de Galois de um corpo K, e seja G o grupo de Galois correspondente. Então o anel OL dos inteiros algébricos de L pode ser considerado como um módulo sobre OK[G], e pode-se perguntar qual é a sua estrutura. Esta é uma questão aritmética, pois pelo teorema da base normal sabe-se que L é um módulo livre sobre K[G] de posto 1. Se o mesmo for verdadeiro para os inteiros, isso equivale à existência de uma base integral normal, isto é, de um elemento α em OL tal que seus conjugados sob G forneçam uma base livre para OL sobre OK. Essa é uma questão interessante mesmo (talvez especialmente) quando K é o corpo dos números racionais Q.

Por exemplo, se L = Q(), existe uma base integral normal? A resposta é sim, como se vê identificando-o com Q(ζ), onde

ζ = exp(2i/3).

De fato, todos os subcorpos dos corpos ciclotômicos para raízes p-ésimas da unidade, com p um número primo, possuem bases integrais normais (sobre Z), como se pode deduzir da teoria dos períodos gaussianos (o teorema de Hilbert–Speiser). Por outro lado, o corpo gaussiano não possui. Este é um exemplo de uma condição necessária encontrada por Emmy Noether (talvez conhecida anteriormente?). O que importa aqui é a ramificação mansa. Em termos do discriminante D de L, e ainda tomando K = Q, nenhum primo p deve dividir D à potência p. Então o teorema de Noether afirma que a ramificação mansa é necessária e suficiente para que OL seja um módulo projetivo sobre Z[G]. Portanto, certamente ela é necessária para que seja um módulo livre. Permanece a questão da diferença entre livre e projetivo, para a qual uma vasta teoria foi desenvolvida.

Um resultado clássico, baseado em um resultado de David Hilbert, é que um corpo de números abeliano com ramificação mansa possui uma base integral normal. Isso pode ser visto usando o teorema de Kronecker–Weber para imergir o corpo abeliano em um corpo ciclotômico.

Representações de Galois em teoria dos números Muitos objetos que surgem em teoria dos números são naturalmente representações de Galois. Por exemplo, se L é uma extensão de Galois de um corpo de números K, o anel de inteiros OL de L é um módulo de Galois sobre OK para o grupo de Galois de L/K (ver teorema de Hilbert–Speiser). Se K é um corpo local, o grupo multiplicativo de seu fecho separável é um módulo para o grupo de Galois absoluto de K, e seu estudo conduz à teoria local dos corpos de classes. Para a teoria global dos corpos de classes, usa-se em vez disso a união dos grupos de classes dos ideles de todas as extensões separáveis finitas de K.

Também existem representações de Galois que surgem de objetos auxiliares e podem ser usadas para estudar grupos de Galois. Uma família importante de exemplos são os módulos de Tate ℓ-ádicos de variedades abelianas.

Representações de Artin

Seja K um corpo de números. Emil Artin introduziu uma classe de representações de Galois do grupo de Galois absoluto GK de K, hoje chamadas representações de Artin. Essas são as representações lineares contínuas de dimensão finita de GK em espaços vetoriais complexos. O estudo dessas representações por Artin levou-o a formular a lei de reciprocidade de Artin e a conjecturar o que hoje é chamado de conjectura de Artin sobre a holomorfia das funções L de Artin.

Devido à incompatibilidade entre a topologia profinita em GK e a topologia usual (euclidiana) em espaços vetoriais complexos, a imagem de uma representação de Artin é sempre finita.

Representações ℓ-ádicas Seja ℓ um número primo. Uma representação ℓ-ádica de GK é um homomorfismo de grupos contínuo , onde M é ou um espaço vetorial de dimensão finita sobre ℓ (o fecho algébrico dos números ℓ-ádicos Qℓ) ou um ℓ-módulo finitamente gerado (onde ℓ é o fecho integral de Zℓ em ℓ). Os primeiros exemplos que surgiram foram o caractere ciclotômico ℓ-ádico e os módulos de Tate ℓ-ádicos de variedades abelianas sobre K. Outros exemplos vêm das representações de Galois de formas modulares e formas automórficas, e das representações de Galois nos grupos de cohomologia ℓ-ádica de variedades algébricas.

Ao contrário das representações de Artin, representações ℓ-ádicas podem ter imagem infinita. Por exemplo, a imagem de GQ sob o caractere ciclotômico ℓ-ádico é . Representações ℓ-ádicas com imagem finita são frequentemente chamadas representações de Artin. Via um isomorfismo de ℓ com C, elas podem ser identificadas com representações de Artin propriamente ditas.

Representações mod ℓ

Essas são representações sobre um corpo finito de característica ℓ. Frequentemente surgem como a redução módulo ℓ de uma representação ℓ-ádica.

Condições locais sobre representações

Há numerosas condições sobre representações dadas por alguma propriedade da representação restrita a um grupo de decomposição de algum primo. A terminologia para essas condições é algo caótica, com autores diferentes inventando nomes diferentes para a mesma condição e usando o mesmo nome com significados diferentes. Algumas dessas condições incluem:

Representações abelianas. Isso significa que a imagem do grupo de Galois na representação é abeliana. Representações absolutamente irredutíveis. Estas permanecem irredutíveis sobre um fecho algébrico do corpo. Representações de Barsotti–Tate. Estas são semelhantes a representações finitas planas. Representações cristabelianas. Representações cristalinas. Representações de Rham. Representações finitas planas. (Este nome é um pouco enganoso, já que elas são na verdade profinitas e não finitas.) Elas podem ser construídas como limite projetivo de representações do grupo de Galois sobre um esquema de grupos finito plano. Representações boas. Estas estão relacionadas às representações de curvas elípticas com boa redução. Representações de Hodge–Tate. Representações irredutíveis. Estas são irredutíveis no sentido de que a única sub-representação é o espaço inteiro ou zero. Representações minimamente ramificadas. Representações modulares. Essas são representações provenientes de uma forma modular, mas também podem se referir à representações sobre corpos de característica positiva. Representações ordinárias. Estas estão relacionadas às representações de curvas elípticas com redução ordinária (não supersingular). Mais precisamente, são representações bidimensionais que são redutíveis com uma sub-representação unidimensional, de tal modo que o grupo de inércia age de certa maneira sobre o submódulo e o quociente. A condição exata depende do autor; por exemplo, ele pode agir trivialmente no quociente e pelo caractere ε no submódulo. Representações potencialmente alguma coisa. Isso significa que as representações restritas a um subgrupo aberto de índice finito possuem alguma propriedade especificada. Representações redutíveis. Estas possuem uma sub-representação própria não nula. Representações semiestáveis. Estas são representações bidimensionais relacionadas às representações provenientes de curvas elípticas semiestáveis. Representações moderadamente ramificadas. Estas são triviais sobre o (primeiro) grupo de ramificação. Representações triangulinas. Representações não ramificadas. Estas são triviais sobre o grupo de inércia. Representações selvagemente ramificadas. Estas são não triviais sobre o (primeiro) grupo de ramificação.

Representações do grupo de Weil Se K é um corpo local ou global, a teoria das formações de classes associa a K seu grupo de Weil WK, um homomorfismo contínuo de grupos , e um isomorfismo de grupos topológicos

onde CK é K× ou o grupo de classes dos ideles IK/K× (dependendo de K ser local ou global) e é a abelianização do grupo de Weil de K. Via φ, qualquer representação de GK pode ser considerada como uma representação de WK. Contudo, WK pode ter estritamente mais representações do que GK. Por exemplo, via rK os caracteres complexos contínuos de WK estão em bijeção com os de CK. Assim, o caractere valor absoluto em CK produz um caractere de WK cuja imagem é infinita e, portanto, não é um caractere de GK (pois todos estes têm imagem finita).

Uma representação ℓ-ádica de WK é definida da mesma forma que para GK. Estas surgem naturalmente da geometria: se X é uma variedade projetiva suave sobre K, então a cohomologia ℓ-ádica da fibra geométrica de X é uma representação ℓ-ádica de GK que, via φ, induz uma representação ℓ-ádica de WK. Se K é um corpo local de característica residual p ≠ ℓ, então é mais simples estudar as chamadas representações de Weil–Deligne de WK.

Representações de Weil–Deligne Seja K um corpo local. Seja E um corpo de característica zero. Uma representação de Weil–Deligne sobre E de WK (ou simplesmente de K) é um par (r, N) que consiste em um homomorfismo contínuo de grupos , onde V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre E munido da topologia discreta, um nilpotente endomorfismo tal que r(w)Nr(w)−1= ||w||N para todo w ∈ WK.Aqui ||w|| é dado por , onde qK é o tamanho do corpo residual de K e v(w) é tal que w é equivalente à potência −v(w)-ésima do Frobenius (aritmético) de WK. Essas representações são as mesmas que as representações sobre E do grupo de Weil–Deligne de K.

Se a característica residual de K é diferente de ℓ, o teorema da monodromia ℓ-ádica de Grothendieck estabelece uma bijeção entre representações ℓ-ádicas de WK (sobre ℓ) e representações de Weil–Deligne de WK sobre ℓ (ou equivalentemente sobre C). Estas últimas têm a propriedade agradável de que a continuidade de r é apenas em relação à topologia discreta em V, tornando a situação mais algébrica em caráter.

Ver também Sistema compatível de representações ℓ-ádicas Representação arbórea de Galois

Referências

Bibliografia

Leitura adicional

Categoria:Teoria algébrica dos números Categoria:Teoria de Galois