Na matemática, e mais especificamente na teoria de corpos, uma extensão radical de um corpo é uma extensão de corpos obtida por uma torre de extensões de corpos, cada uma gerada pela adjunção de uma raiz enésima de um elemento do corpo anterior.
Definição Uma extensão radical simples é uma extensão simples gerada por um único elemento que satisfaz para um elemento de . Na característica , também consideramos uma extensão por uma raiz de um polinômio de Artin-Schreier como sendo uma extensão radical simples.
Uma série radical é uma torre onde cada extensão é uma extensão radical simples. Neste caso, a extensão de corpos é chamada de extensão radical.
Propriedades
Se é uma extensão radical de e é uma extensão radical de , então é uma extensão radical de . Se e são extensões radicais de em um corpo de extensão de , então o compósito (o menor subcorpo de que contém tanto quanto ) é uma extensão radical de . Se é uma extensão radical de e , então é uma extensão radical de .
Solubilidade por radicais As extensões radicais ocorrem naturalmente ao resolver equações polinomiais por radicais. De fato, uma solução por radicais é a expressão da solução como um elemento de uma série radical: um polinômio sobre um corpo é dito ser solúvel por radicais se houver um corpo de decomposição de sobre contido em uma extensão radical de .
O Teorema de Abel-Ruffini afirma que tal solução por radicais não existe, em geral, para equações de grau cinco ou superior. Évariste Galois mostrou que uma equação é solúvel por radicais se e somente se o seu grupo de Galois for solúvel. A demonstração baseia-se no teorema fundamental da teoria de Galois e no seguinte teorema:
A demonstração está relacionada aos resolventes de Lagrange. Seja uma raiz enésima primitiva da unidade (pertencente a ). Se a extensão for gerada por com como polinômio mínimo, o mapeamento induz um -automorfismo da extensão que gera o grupo de Galois, mostrando a implicação de "somente se". Por outro lado, se é um -automorfismo que gera o grupo de Galois, e é um gerador da extensão, seja:
A relação implica que o produto dos conjugados de (isto é, as imagens de pelos -automorfismos) pertence a , e é igual ao produto de pelo produto das raízes enésimas da unidade. Como o produto das raízes enésimas da unidade é , isto implica que e, portanto, que a extensão é uma extensão radical.
Segue deste teorema que uma extensão de Galois pode ser estendida para uma extensão radical se e somente se o seu grupo de Galois for solúvel (mas existem extensões de Galois não radicais cujo grupo de Galois é solúvel, por exemplo ). Este é, na terminologia moderna, o critério de solubilidade por radicais que foi fornecido por Galois. A demonstração usa o fato de que o fecho de Galois de uma extensão radical simples de grau é a extensão do mesmo por uma raiz enésima primitiva da unidade, e que o grupo de Galois das raízes enésimas da unidade é cíclico.
Referências