Na geometria algébrica, um morfismo próprio entre esquemas é um análogo de uma aplicação própria entre espaços analíticos complexos.

Alguns autores chamam uma variedade própria sobre um corpo de variedade completa. Por exemplo, toda variedade projetiva sobre um corpo é própria sobre . Um esquema de tipo finito sobre os números complexos (por exemplo, uma variedade) é próprio sobre se e somente se o espaço de pontos complexos com a topologia clássica (euclidiana) for compacto e de Hausdorff.

Uma imersão fechada é própria. Um morfismo é finito se e somente se for próprio e quase-finito.

Definição

Um morfismo de esquemas é chamado de universalmente fechado se, para todo esquema com um morfismo , a projeção do produto fibrado

for uma aplicação fechada dos espaços topológicos subjacentes. Um morfismo de esquemas é chamado de próprio se for separado, de tipo finito, e universalmente fechado ([EGA] II, 5.4.1 ). Diz-se também que é próprio sobre . Em particular, uma variedade sobre um corpo é dita própria sobre se o morfismo for próprio.

Exemplos Para qualquer número natural , o espaço projetivo sobre um anel comutativo é próprio sobre . Morfismos projetivos são próprios, mas nem todos os morfismos próprios são projetivos. Por exemplo, existe uma variedade complexa própria suave de dimensão 3 que não é projetiva sobre .Hartshorne (1977), Appendix B, Example 3.4.1. Variedades afins de dimensão positiva sobre um corpo nunca são próprias sobre . Mais genericamente, um morfismo afim próprio de esquemas deve ser finito.Liu (2002), Lemma 3.3.17. Por exemplo, não é difícil ver que a reta afim sobre um corpo não é própria sobre , porque o morfismo não é universalmente fechado. De fato, o morfismo de mudança de base (pullback)

(dado por ) não é fechado, porque a imagem do subconjunto fechado em é , que não é fechado em .

Propriedades e caracterizações de morfismos próprios A seguir, seja um morfismo de esquemas. A composição de dois morfismos próprios é própria. Qualquer mudança de base de um morfismo próprio é própria. Ou seja, se for qualquer morfismo de esquemas, então o morfismo resultante é próprio. Ser próprio é uma propriedade local na base (na topologia de Zariski). Isto é, se for coberto por alguns subesquemas abertos e a restrição de a todos os for própria, então também o será. De forma mais forte, a propriedade de ser próprio é local na base na topologia fpqc. Por exemplo, se é um esquema sobre um corpo e é uma extensão de corpo de , então é próprio sobre se e somente se a mudança de base for própria sobre .. Imersões fechadas são próprias. Mais genericamente, morfismos finitos são próprios. Esta é uma consequência do teorema de subida (going up). De acordo com Deligne, um morfismo de esquemas é finito se e somente se for próprio e quase-finito.Grothendieck, EGA IV, Part 4, Corollaire 18.12.4; . Isto havia sido demonstrado por Grothendieck se o morfismo for localmente de apresentação finita, o que se segue das outras suposições se for noetheriano.Grothendieck, EGA IV, Part 3, Théorème 8.11.1. Para próprio sobre um esquema , e separado sobre , a imagem de qualquer morfismo sobre é um subconjunto fechado de .. Isto é análogo ao teorema em topologia de que a imagem de um mapa contínuo de um espaço compacto para um espaço de Hausdorff é um subconjunto fechado. O teorema da fatoração de Stein afirma que qualquer morfismo próprio para um esquema localmente noetheriano pode ser fatorado como , onde é próprio, sobrejetivo, e possui fibras geometricamente conexas, e é finito.. O Lema de Chow diz que os morfismos próprios estão intimamente relacionados aos morfismos projetivos. Uma versão é: se é próprio sobre um esquema quase-compacto e tem apenas um número finito de componentes irredutíveis (o que é automático se for noetheriano), então existe um morfismo projetivo sobrejetivo tal que é projetivo sobre . Além disso, pode-se organizar as coisas para que seja um isomorfismo sobre um subconjunto aberto e denso de , e que seja denso em . Pode-se também assegurar que seja íntegro se for íntegro.Grothendieck, EGA II, Corollaire 5.6.2. O Teorema de compactificação de Nagata, conforme generalizado por Deligne, diz que um morfismo separado de tipo finito entre esquemas quase-compactos e quase-separados se fatora como uma imersão aberta seguida por um morfismo próprio.Conrad (2007), Theorem 4.1. Morfismos próprios entre esquemas localmente noetherianos preservam feixes coerentes, no sentido de que as imagens diretas superiores (em particular a imagem direta ) de um feixe coerente são coerentes (EGA III, 3.2.1). (Analogamente, para uma aplicação própria entre espaços analíticos complexos, Grauert e Remmert mostraram que as imagens diretas superiores preservam feixes analíticos coerentes.) Como um caso muito especial: o anel de funções regulares em um esquema próprio sobre um corpo tem dimensão finita como um espaço vetorial sobre . Em contraste, o anel de funções regulares na reta afim sobre é o anel de polinômios , que não tem dimensão finita como espaço vetorial sobre . Há também uma afirmação um pouco mais forte sobre isso: seja um morfismo de tipo finito, localmente noetheriano e um -módulo. Se o suporte de for próprio sobre , então para cada a imagem direta superior é coerente. Para um esquema de tipo finito sobre os números complexos, o conjunto de pontos complexos é um espaço analítico complexo, usando a topologia clássica (euclidiana). Para e separados e de tipo finito sobre , um morfismo sobre é próprio se e somente se o mapa contínuo for próprio no sentido de que a imagem inversa de todo conjunto compacto é compacta. Se e são tais que é próprio e é separado, então é próprio. Isto pode, por exemplo, ser facilmente provado usando o critério a seguir.

Critério valorativo de propriedade Existe um critério muito intuitivo para morfismos próprios que remonta a Chevalley. É comumente chamado de critério valorativo de propriedade (valuative criterion of properness). Seja um morfismo de tipo finito de esquemas noetherianos. Então é próprio se e somente se para todos os anéis de valorização discreta com corpo de frações e para qualquer ponto valorizado em , , que é mapeado para um ponto que é definido sobre , existe um único levantamento de para . (EGA II, 7.3.8). Mais genericamente, um morfismo quase-separado de tipo finito (nota: tipo finito inclui quase-compacto) de 'quaisquer' esquemas , é próprio se e somente se para todos os anéis de valorização com corpo de frações e para qualquer ponto valorizado em , , que é mapeado para um ponto que é definido sobre , existe um único levantamento de para . (Stacks project Tags 01KF and 01KY). Notando que é o ponto genérico de e os anéis de valorização discreta são precisamente os anéis locais regulares unidimensionais, pode-se reformular o critério: dada uma curva regular em (correspondendo ao morfismo ) e dado um levantamento do ponto genérico dessa curva para , é próprio se e somente se houver exatamente uma maneira de completar a curva.

Da mesma forma, é separado se e somente se em todo diagrama deste tipo, houver no máximo um levantamento .

Por exemplo, dado o critério valorativo, torna-se fácil verificar que o espaço projetivo é próprio sobre um corpo (ou até mesmo sobre ). Simplesmente observa-se que para um anel de valorização discreta com corpo de frações , todo -ponto do espaço projetivo vem de um -ponto, escalonando as coordenadas de forma que todas fiquem em e ao menos uma seja uma unidade em .

Interpretação geométrica com discos

Um dos exemplos motivadores para o critério valorativo de propriedade é a interpretação de como um disco infinitesimal, ou na análise complexa, como o disco . Isso vem do fato de que toda série de potências

converge em algum disco de raio em torno da origem. Então, usando uma mudança de coordenadas, isso pode ser expresso como uma série de potências no disco unitário. Em seguida, se invertermos , teremos o anel que são as séries de potências que podem ter um polo na origem. Isso é representado topologicamente como o disco aberto com a origem removida. Para um morfismo de esquemas sobre , isto é dado pelo diagrama comutativo

Então, o critério valorativo para propriedade seria o preenchimento do ponto na imagem de .

Exemplo É instrutivo olhar para um contraexemplo para ver por que o critério valorativo de propriedade deve ser válido em espaços análogos às variedades compactas fechadas. Se pegarmos e , então um morfismo fatora por meio de uma carta afim de , reduzindo o diagrama para

onde é a carta centrada ao redor de em . Isto produz o diagrama comutativo de álgebras comutativas

Então, um levantamento do diagrama de esquemas, , implicaria que há um morfismo mapeando a partir do diagrama comutativo de álgebras. Isso, obviamente, não pode acontecer. Portanto, não é próprio sobre .

Interpretação geométrica com curvas Há outro exemplo semelhante do critério valorativo de propriedade que captura parte da intuição do motivo pelo qual este teorema deve ser válido. Considere uma curva e o complemento de um ponto . Então o critério valorativo para a propriedade seria lido como um diagrama

com um levantamento de . Geometricamente, isso significa que cada curva no esquema pode ser completada em uma curva compacta. Esse fragmento de intuição se alinha com a interpretação teórica de esquemas de um morfismo de espaços topológicos com fibras compactas, que dita que uma sequência em uma das fibras deve convergir. Como essa situação geométrica é um problema local, o diagrama é substituído observando o anel local , que é um anel de valorização discreta (DVR), e seu corpo de frações . O problema do levantamento dá origem ao diagrama comutativo

onde o esquema representa um disco local ao redor de com o ponto fechado removido.

Morfismo próprio de esquemas formais Seja um morfismo entre esquemas formais localmente noetherianos. Dizemos que é próprio ou que é próprio sobre se (i) for um morfismo ádico (ou seja, mapeia o ideal de definição para o ideal de definição) e (ii) o mapa induzido for próprio, onde , , e é o ideal de definição de . A definição é independente da escolha de .

Por exemplo, se for um morfismo próprio de esquemas localmente noetherianos, for um subconjunto fechado de , e for um subconjunto fechado de tal que , então o morfismo nos completamentos formais é um morfismo próprio de esquemas formais.

Grothendieck provou o teorema da coerência neste contexto. A saber, seja um morfismo próprio de esquemas formais localmente noetherianos. Se é um feixe coerente sobre , então as imagens diretas superiores são coerentes.Grothendieck, EGA III, Part 1, Théorème 3.4.2.

Ver também Teorema da mudança de base própria Fatoração de Stein Lema do tubo

Referências

Ligações externas

Categoria:Morfismos de esquemas