Em matemática, especificamente em teoria da medida, o Teorema de decomposição de Lebesgue é o resultado que afirma que dadas duas medidas -finitas podemos decompor como a soma de duas outras medidas, , de forma que seja singular com respeito a e seja absolutamente contínua com respeito a . Além disso e são únicas. O resultado pode ser extendido para o caso onde é uma medida com sinal, e nesse caso são também medidas com sinal.
Definições Seja um conjunto e o seu conjunto das partes. Seja uma -álgebra e uma medida. Dizemos que é finita caso não exista tal que , ou, equivalentemente, caso . Dizemos que é -finita caso existam tais que e para todo temos .
Seja outra medida. Dizemos que é absolutamente contínua com respeito a , e denotamos , caso implique , para todo . Dizemos que são mutualmente singulares, e denotamos , caso existam que particionam tais que é identicamente nula em enquanto é identicamente nula em .
Enunciado O Teorema de Decomposição de Lebesgue consiste da seguinte afirmação: Se são medidas -finitas então existem medidas únicas que satisfazem
Nesse caso dizemos que são a decomposição de Lebesgue de com respeito a . Note que se é finita então devem necessariamente ser finitas. Consequentemente são sempre -finitas, uma vez que é -finita.
Versão mais forte do resultado Apesar de o teorema ser usualmente enunciado como acima, alguns autores enunciam e provam um resultado estritamente mais forte sob o mesmo nome. Especificamente, podemos garantir que uma decomposição de lebesgue existe e é única mesmo quando é arbitrária, ao invés de -finita.
Extensão para medidas com sinal O Teorema de Decomposição de Jordan garante que a decomposição de Lebesgue segue valendo quando é medida com sinal. Para ver isso, Suponha que as medidas são as dadas pela decomposição de Jordan de , ou seja, . Claramente ambas devem ser -finitas, e ao menos uma delas deve ser finita. Suponha, sem perda de generalidade, que é finita. Portanto, pelo teorema enunciado acima, deve existir decomposição de Lebesgue de , resultando nas medidas , com e . Além disso, devem ser finitas. Consequentemente existem as medidas e , e essas satisfazem . Além disso, e .
Demonstração
Demonstração da existencia da decomposição na versão usual Nessa demonstração iremos supor que são ambas -finitas.
Note que é também uma medida. Se formam uma partição enumerável de na qual é sempre finito, e formam uma partição enumerável de na qual é sempre finito, então formam uma partição enumerável de na qual são ambos sempre finitos. Ou seja, a medida é -finita. Além disso, temos que e .
Portanto o Teorema de Radon-Nikodym se aplica, e temos que existem funções mensuráveis tais que
para todo . Definimos e , e dessa forma particionam . Então se definimos as medidas pelas fórmulas e , para todo , temos .
Segue imediatamente das definições que é identicamente nula em e é identicamente nula em . Portanto . E implica que ou quase-sempre em . Em ambos os casos temos que . Portanto .
Isso conclui a prova da existência de uma decomposição de Lebesgue.
Demonstração da existência da decomposição na versão mais forte Nessa demonstração iremos supor somente que é -finita, sendo medida arbitrária.
Suponha primeiro que é finita. Então , e como para todo temos concluímos que é limitada. Considere o conjunto . como é limitada, o conjunto é também limitado, e temos . Seja , para cada , uma sequência tal que converge a . Seja . Então , para todo . Ou seja, . Mas como , para todo , concluímos que . Ou seja, e consequentemente . Segue que .
Seja . Definimos as medidas pelas fórmulas e , para todo . Segue que . Ou seja, . E como é identicamente nulo nos subconjuntos de , enquanto são identicamente nulos nos subconjuntos de , temos que e .
Isso mostra a existência de uma decomposição de Lebesgue.
Demonstração da unicidade da decomposição Suponha que também formam uma decomposição de Lebesgue de com respeito a . Então as condições implicam a existência de partições de que satisfazem
e e
Mas como e , temos que . Disso segue que , para todo . Ou seja, em . Mas em . Ou seja, sempre. De forma similar, temos para todo , portanto em . Mas vimos acima que em . Ou seja, sempre.
Referências
Categoria:Teoria da medida