Em matemática, as séries hipergeométricas básicas, ou séries q-hipergeométricas, são generalizações em q-análogo das séries hipergeométricas generalizadas, e por sua vez são generalizadas pelas séries hipergeométricas elípticas. Uma série xn é chamada de hipergeométrica se a razão de termos sucessivos xn+1/xn é uma função racional de n. Se a razão de termos sucessivos é uma função racional de qn, então a série é chamada de série hipergeométrica básica. O número q é chamado de base.
A série hipergeométrica básica foi primeiramente considerada por . Ela se torna a série hipergeométrica no limite quando a base .
Definição Existem duas formas de séries hipergeométricas básicas, a série hipergeométrica básica unilateral φ, e a mais geral série hipergeométrica básica bilateral ψ. A série hipergeométrica básica unilateral é definida como
onde
e
é o fatorial q-deslocado. O caso especial mais importante é quando j = k + 1, quando se torna
Esta série é chamada de balanceada se a1 ... ak + 1 = b1 ...bkq. Esta série é chamada de bem balanceada se a1q = a2b1 = ... = ak + 1bk, e muito bem balanceada se, além disso, a2 = −a3 = qa11/2. A série hipergeométrica básica unilateral é um q-análogo da série hipergeométrica pois
é válido (). A série hipergeométrica básica bilateral, correspondente à série hipergeométrica bilateral, é definida como
O caso especial mais importante é quando j = k, quando se torna
A série unilateral pode ser obtida como um caso especial da bilateral definindo uma das variáveis b como sendo igual a q, pelo menos quando nenhuma das variáveis a for uma potência de q, já que todos os termos com n < 0 então desaparecem.
Séries simples Algumas expressões de séries simples incluem
e
e
O teorema q-binomial O teorema q-binomial (publicado pela primeira vez em 1811 por Heinrich August Rothe).. afirma que
Pode ser provado aplicando repetidamente a identidade
Quando é uma potência inteira negativa de q, a soma hipergeométrica é finita e recupera-se a forma finita
do teorema q-binomial (também por vezes conhecido como teorema binomial de Cauchy).Wolfram Mathworld: Cauchy Binomial Theorem Aqui é um coeficiente q-binomial.
O caso especial de a = 0 está intimamente relacionado à q-exponencial.
Identidade de Ramanujan Srinivasa Ramanujan deu a identidade
válida para |q| < 1 e |b/a| < |z| < 1. Identidades semelhantes para foram dadas por Bailey. Tais identidades podem ser entendidas como generalizações do teorema do produto triplo de Jacobi, que pode ser escrito usando q-séries como
Gwynneth Coogan e Ken Ono dão uma série de potências formal relacionada
Integral de contorno de Watson Como um análogo da integral de Barnes para a série hipergeométrica, Watson mostrou que
onde os polos de situam-se à esquerda do contorno e os polos restantes situam-se à direita. Existe uma integral de contorno semelhante para r+1φr. Esta integral de contorno fornece uma continuação analítica da função hipergeométrica básica em z.
Versão matricial A função matriz hipergeométrica básica pode ser definida da seguinte forma:
O teste da razão mostra que esta função matricial é absolutamente convergente. Ahmed Salem (2014) The basic Gauss hypergeometric matrix function and its matrix q-difference equation, Linear and Multilinear Algebra, 62:3, 347-361, DOI: 10.1080/03081087.2013.777437
Ver também Identidade de Dixon Identidades de Rogers-Ramanujan
Notas
Referências
W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge. William Y. C. Chen and Amy Fu, Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Series (2004) Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, Nova Iorque: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, , , Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's Summation
Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. . Seção 0.2 Andrews, G. E., Askey, R. and Roy, R. (1999). Special Functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, volume 71, Cambridge University Press. Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97–125. Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlim.
Ligações externas
Categoria:Q-análogos Categoria:Séries matemáticas Categoria:Funções hipergeométricas