Em matemática, uma série hipergeométrica bilateral é uma série Σan somada sobre todos os inteiros n, e tal que a razão
an/an+1
de dois termos é uma função racional de n. A definição da série hipergeométrica generalizada é semelhante, exceto que os termos com n negativo devem se anular; a série bilateral terá, em geral, um número infinito de termos não nulos tanto para n positivo quanto negativo.
A série hipergeométrica bilateral não converge para a maioria das funções racionais, embora possa ser continuada analiticamente para uma função definida na maioria das funções racionais. Existem várias fórmulas de soma que fornecem seus valores para casos especiais onde ela converge.
Definição A série hipergeométrica bilateral pHp é definida por
onde
é o fatorial crescente ou símbolo de Pochhammer.
Em muitos contextos, assume-se que a variável seja igual a 1, caso em que ela é frequentemente omitida da notação.
É possível definir a série hipergeométrica bilateral para valores arbitrários de e de maneira análoga à série hipergeométrica generalizada. No entanto, exceto em casos específicos, tais séries ou não convergem ou podem ser reduzidas à série hipergeométrica usual por meio de transformações adequadas de variáveis.
Convergência e continuação analítica Suponha que nenhuma das variáveis a ou b seja um número inteiro, de modo que todos os termos da série sejam finitos e não nulos. Então, os termos com n < 0 divergem se |z| < 1, e os termos com n > 0 divergem se |z| > 1, de modo que a série não pode convergir a menos que |z| = 1. Quando |z| = 1, a série converge se
A série hipergeométrica bilateral pode ser continuada analiticamente para uma função meromorfa multivalorada de várias variáveis cujas singularidades são pontos de ramificação em z = 0 e z = 1 e polos simples em ai = −1, −2,... e bi = 0, 1, 2, ... Isso pode ser feito da seguinte forma. Suponha que nenhuma das variáveis a ou b seja um número inteiro. Os termos com n positivo convergem para |z| < 1 para uma função que satisfaz uma equação linear não homogênea com singularidades em z = 0 e z = 1, de forma que pode ser continuada para uma função multivalorada com esses pontos como pontos de ramificação. De forma semelhante, os termos com n negativo convergem para |z| > 1 para uma função que satisfaz uma equação linear não homogênea com singularidades em z = 0 e z = 1, de forma que também pode ser continuada para uma função multivalorada com esses pontos como pontos de ramificação. A soma dessas funções fornece a continuação analítica da série hipergeométrica bilateral para todos os valores de z diferentes de 0 e 1, e satisfaz uma equação diferencial linear em z semelhante à equação diferencial hipergeométrica.
Fórmulas de soma Soma bilateral de Dougall
Esta é por vezes escrita na forma equivalente
Fórmula de Bailey deu a seguinte generalização da fórmula de Dougall:
onde
Ver também Série hipergeométrica bilateral básica
Referências
Bibliografia
(existe uma edição em brochura de 2008 com )
Categoria:Funções hipergeométricas