Em matemática, e em particular no campo da álgebra, uma série de Hilbert-Poincaré (também conhecida sob o nome de série de Hilbert), nomeada em homenagem a David Hilbert e Henri Poincaré, é uma adaptação da noção de dimensão para o contexto de estruturas algébricas graduadas (onde a dimensão de toda a estrutura é frequentemente infinita). Trata-se de uma série de potências formal em uma indeterminada, digamos , onde o coeficiente de fornece a dimensão (ou posto) da subestrutura de elementos homogêneos de grau . Ou seja, é uma função geradora das dimensões.
Está intimamente relacionada ao polinômio de Hilbert nos casos em que este último existe; no entanto, a série de Hilbert-Poincaré descreve o posto em cada grau, enquanto o polinômio de Hilbert o descreve em todos os graus, exceto em um número finito deles, e, portanto, fornece menos informações. Em particular, a série de Hilbert-Poincaré não pode ser deduzida do polinômio de Hilbert, mesmo que este último exista. Em casos favoráveis, a série de Hilbert-Poincaré pode ser expressa como uma função racional do seu argumento .
Definição Seja K um corpo, e seja um espaço vetorial graduado em sobre K, onde cada subespaço de vetores de grau i é de dimensão finita. Então a série de Hilbert-Poincaré de V é a série de potências formal
Uma definição semelhante pode ser dada para um R-módulo graduado em sobre qualquer anel comutativo R no qual cada submódulo de elementos homogêneos de um grau fixo n seja livre de posto finito; basta substituir a dimensão pelo posto. Frequentemente, o espaço vetorial graduado ou módulo cuja série de Hilbert-Poincaré é considerada possui uma estrutura adicional, por exemplo, a de um anel, mas a série de Hilbert-Poincaré é independente da estrutura multiplicativa ou de qualquer outra.
Exemplo: Como existem monômios de grau k nas variáveis (por indução, digamos), pode-se deduzir que a soma da série de Hilbert-Poincaré de é a função racional .
Teorema de Hilbert-Serre Suponha que M seja um módulo graduado finitamente gerado sobre com um anel artiniano (por exemplo, um corpo) A. Então a série de Poincaré de M é um polinômio com coeficientes inteiros dividido por . A demonstração padrão atualmente é uma indução sobre n. A prova original de Hilbert fez uso do Teorema das sizígias de Hilbert (uma resolução projetiva de M), o qual fornece mais informações homológicas.
Aqui está uma prova por indução sobre o número n de indeterminadas. Se , então, como M tem comprimento finito, se k for suficientemente grande. Em seguida, suponha que o teorema seja verdadeiro para e considere a sequência exata de módulos graduados (exata grau a grau), com a notação , . Como o comprimento é aditivo, as séries de Poincaré também são aditivas. Logo, temos: . Podemos escrever . Uma vez que K é anulado por , podemos considerá-lo como um módulo graduado sobre ; o mesmo é verdadeiro para C. O teorema segue agora, portanto, a partir da hipótese de indução.
Complexo de cadeias
Um exemplo de espaço vetorial graduado está associado a um complexo de cadeias, ou complexo de cocadeias C de espaços vetoriais; este último assume a forma
A série de Hilbert-Poincaré (aqui frequentemente chamada de polinômio de Poincaré) do espaço vetorial graduado para este complexo é
O polinômio de Hilbert-Poincaré da coomologia, com espaços de coomologia Hj = Hj(C), é
Uma relação famosa entre os dois é que existe um polinômio com coeficientes não negativos, tal que
Referências
Bibliografia
Categoria:Álgebra homológica Categoria:Álgebra linear Categoria:Álgebra comutativa Categoria:Séries matemáticas Categoria:Henri Poincaré Serie de Poincare