Na álgebra comutativa, a função de Hilbert, o polinômio de Hilbert e a série de Hilbert de uma álgebra comutativa graduada finitamente gerada sobre um corpo são três noções fortemente relacionadas que medem o crescimento da dimensão dos componentes homogêneos da álgebra.

Essas noções foram estendidas para álgebras filtradas, e módulos graduados ou filtrados sobre essas álgebras, bem como para feixes coerentes sobre esquemas projetivos.

As situações típicas onde essas noções são usadas são as seguintes: O quociente por um ideal homogêneo de um anel de polinômios multivariável, graduado pelo grau total. O quociente por um ideal de um anel de polinômios multivariável, filtrado pelo grau total. A filtração de um anel local pelas potências de seu ideal maximal. Neste caso, o polinômio de Hilbert é chamado de polinômio de Hilbert-Samuel.

A série de Hilbert de uma álgebra ou de um módulo é um caso especial da série de Hilbert-Poincaré de um espaço vetorial graduado.

O polinômio de Hilbert e a série de Hilbert são importantes na geometria algébrica computacional, pois são a maneira mais fácil conhecida de calcular a dimensão e o grau de uma variedade algébrica definida por equações polinomiais explícitas. Além disso, eles fornecem invariantes úteis para famílias de variedades algébricas porque uma família plana possui o mesmo polinômio de Hilbert sobre qualquer ponto fechado . Isso é usado na construção do esquema de Hilbert e do esquema Quot.

Definições e propriedades principais

Considere uma álgebra comutativa graduada finitamente gerada sobre um corpo , que é finitamente gerada por elementos de grau positivo. Isso significa que

e que .

A função de Hilbert

mapeia o inteiro para a dimensão do -espaço vetorial . A série de Hilbert, que é chamada de série de Hilbert-Poincaré no contexto mais geral de espaços vetoriais graduados, é a série formal

Se for gerada por elementos homogêneos de graus positivos , então a soma da série de Hilbert é uma fração racional

onde é um polinômio com coeficientes inteiros.

Se for gerada por elementos de grau 1, então a soma da série de Hilbert pode ser reescrita como

onde é um polinômio com coeficientes inteiros, e é a dimensão de Krull de .

Nesse caso, a expansão em série dessa fração racional é

onde

é o coeficiente binomial para e é 0 caso contrário.

Se

o coeficiente de em é, portanto,

Para o termo de índice nesta soma é um polinômio em de grau com coeficiente principal Isso mostra que existe um único polinômio com coeficientes racionais que é igual a para grande o suficiente. Este polinômio é o polinômio de Hilbert, e tem a forma

O menor tal que para é chamado de regularidade de Hilbert. Ele pode ser menor que .

O polinômio de Hilbert é um polinômio numérico, uma vez que as dimensões são inteiras, mas o polinômio quase nunca possui coeficientes inteiros .

Todas essas definições podem ser estendidas a módulos graduados finitamente gerados sobre , com a única diferença de que um fator aparece na série de Hilbert, onde é o grau mínimo dos geradores do módulo, que pode ser negativo.

A função de Hilbert, a série de Hilbert e o polinômio de Hilbert de uma álgebra filtrada são as da álgebra graduada associada.

O polinômio de Hilbert de uma variedade projetiva em é definido como o polinômio de Hilbert do anel de coordenadas homogêneas de .

Álgebra graduada e anéis de polinômios

Anéis de polinômios e seus quocientes por ideais homogêneos são álgebras graduadas típicas. Reciprocamente, se é uma álgebra graduada gerada sobre o corpo por elementos homogêneos de grau 1, então o mapa que leva em define um homomorfismo de anéis graduados de em . O seu núcleo é um ideal homogêneo e isso define um isomorfismo de álgebra graduada entre e .

Assim, as álgebras graduadas geradas por elementos de grau 1 são exatamente, a menos de isomorfismo, os quocientes de anéis de polinômios por ideais homogêneos. Portanto, o restante deste artigo se restringirá aos quocientes de anéis de polinômios por ideais.

Propriedades da série de Hilbert

Aditividade A série de Hilbert e o polinômio de Hilbert são aditivos em relação a sequências exatas. Mais precisamente, se

for uma sequência exata curta de módulos graduados ou filtrados, então temos

e

Isso segue imediatamente da mesma propriedade para a dimensão de espaços vetoriais.

Quociente por um não divisor de zero

Seja uma álgebra graduada e um elemento homogêneo de grau em que não é um divisor de zero. Então temos

Isso decorre da aditividade na sequência exata

onde a seta rotulada com é a multiplicação por , e é o módulo graduado obtido de ao deslocar os graus por , para que a multiplicação por tenha grau 0. Isso implica que

Série de Hilbert e polinômio de Hilbert de um anel de polinômios

A série de Hilbert do anel de polinômios em indeterminadas é

Segue que o polinômio de Hilbert é

A demonstração de que a série de Hilbert tem essa forma simples é obtida aplicando-se recursivamente a fórmula anterior para o quociente por um elemento que não é divisor de zero (aqui ) e observando que

Forma da série de Hilbert e dimensão

Uma álgebra graduada gerada por elementos homogêneos de grau 1 tem dimensão de Krull zero se o ideal homogêneo maximal, isto é, o ideal gerado pelos elementos homogêneos de grau 1, for nilpotente. Isso implica que a dimensão de como um -espaço vetorial é finita e a série de Hilbert de é um polinômio tal que é igual à dimensão de como um -espaço vetorial.

Se a dimensão de Krull de for positiva, existe um elemento homogêneo de grau um que não é um divisor de zero (na verdade, quase todos os elementos de grau um têm essa propriedade). A dimensão de Krull de é a dimensão de Krull de menos um.

A aditividade da série de Hilbert mostra que . Iterando isso um número de vezes igual à dimensão de Krull de , obtemos eventualmente uma álgebra de dimensão 0 cuja série de Hilbert é um polinômio . Isso mostra que a série de Hilbert de é

onde o polinômio é tal que e é a dimensão de Krull de .

Esta fórmula para a série de Hilbert implica que o grau do polinômio de Hilbert é , e que seu coeficiente principal é .

Grau de uma variedade projetiva e teorema de Bézout

A série de Hilbert nos permite calcular o grau de uma variedade algébrica como o valor em 1 do numerador da série de Hilbert. Isso também fornece uma demonstração bastante simples do teorema de Bézout.

Para mostrar a relação entre o grau de um conjunto algébrico projetivo e a série de Hilbert, considere um conjunto algébrico projetivo , definido como o conjunto dos zeros de um ideal homogêneo , onde é um corpo, e seja o anel de funções regulares no conjunto algébrico.

Nesta seção, não é necessária a irredutibilidade dos conjuntos algébricos nem a primalidade dos ideais. Além disso, como as séries de Hilbert não são alteradas ao estender o corpo de coeficientes, supõe-se, sem perda de generalidade, que o corpo seja algebricamente fechado.

A dimensão de é igual à dimensão de Krull menos um de , e o grau de é o número de pontos de interseção, contados com multiplicidades, de com a interseção de hiperplanos em posição geral. Isso implica a existência, em , de uma sequência regular de polinômios homogêneos de grau um. A definição de uma sequência regular implica a existência de sequências exatas

para Isso implica que

onde é o numerador da série de Hilbert de .

O anel possui dimensão de Krull um, e é o anel de funções regulares de um conjunto algébrico projetivo de dimensão 0 que consiste em um número finito de pontos, os quais podem ser pontos múltiplos. Como pertence a uma sequência regular, nenhum desses pontos pertence ao hiperplano de equação O complemento desse hiperplano é um espaço afim que contém Isso torna um conjunto algébrico afim, que tem como o seu anel de funções regulares. O polinômio linear não é um divisor de zero em e tem-se assim uma sequência exata

o que implica que

Aqui estamos usando as séries de Hilbert de álgebras filtradas, e o fato de que a série de Hilbert de uma álgebra graduada é também a sua série de Hilbert como uma álgebra filtrada.

Assim, é um anel artiniano, que é um -espaço vetorial de dimensão , e o teorema de Jordan-Hölder pode ser usado para provar que é o grau do conjunto algébrico . Na verdade, a multiplicidade de um ponto é o número de ocorrências do ideal maximal correspondente em uma série de composição.

Para provar o teorema de Bézout, pode-se proceder de maneira semelhante. Se for um polinômio homogêneo de grau , que não é um divisor de zero em , a sequência exata

mostra que

Analisando os numeradores, isso prova a seguinte generalização do teorema de Bézout:

Teorema - Se é um polinômio homogêneo de grau , que não é um divisor de zero em , então o grau da interseção de com a hipersuperfície definida por é o produto do grau de por

Em uma forma mais geométrica, isso pode ser reformulado como:

Teorema - Se uma hipersuperfície projetiva de grau não contém nenhuma componente irredutível de um conjunto algébrico de grau , então o grau de sua interseção é .

O teorema de Bézout usual é facilmente deduzido começando por uma hipersuperfície e cruzando-a com outras hipersuperfícies, uma após a outra.

Interseção completa Um conjunto algébrico projetivo é uma interseção completa se o seu ideal de definição for gerado por uma sequência regular. Nesse caso, existe uma fórmula explícita simples para a série de Hilbert.

Sejam polinômios homogêneos em , de graus respectivos Definindo temos as seguintes sequências exatas

A aditividade das séries de Hilbert implica, portanto,

Uma simples recursão fornece

Isso mostra que a interseção completa definida por uma sequência regular de polinômios possui uma codimensão de , e que o seu grau é o produto dos graus dos polinômios na sequência.

Relação com resoluções livres Todo módulo graduado sobre um anel regular graduado possui uma resolução livre graduada por causa do teorema das sizígias de Hilbert, o que significa que existe uma sequência exata

onde os são módulos livres graduados, e as setas são mapas lineares graduados de grau zero.

A aditividade das séries de Hilbert implica que

Se for um anel de polinômios, e se soubermos os graus dos elementos da base dos então as fórmulas das seções anteriores permitem deduzir a partir de Na verdade, essas fórmulas implicam que, se um módulo livre graduado tiver uma base de elementos homogêneos de graus então a sua série de Hilbert é

Essas fórmulas podem ser vistas como uma forma de calcular séries de Hilbert. Este raramente é o caso, pois, com os algoritmos conhecidos, o cálculo da série de Hilbert e o cálculo de uma resolução livre começam da mesma base de Gröbner, a partir da qual a série de Hilbert pode ser calculada diretamente com uma complexidade computacional que não é maior do que a complexidade do cálculo da resolução livre. Cálculo da série de Hilbert e do polinômio de Hilbert

O polinômio de Hilbert é facilmente deduzível da série de Hilbert (veja acima). Esta seção descreve como a série de Hilbert pode ser calculada no caso de um quociente de um anel de polinômios, filtrado ou graduado pelo grau total.

Assim, seja um corpo, um anel de polinômios e um ideal em . Seja o ideal homogêneo gerado pelas partes homogêneas de maior grau dos elementos de . Se for homogêneo, então =. Por fim, seja uma base de Gröbner de para uma ordem monomial refinando a ordem parcial do grau total e o ideal (homogêneo) gerado pelos monômios principais dos elementos de .

O cálculo da série de Hilbert baseia-se no fato de que a álgebra filtrada R/I e as álgebras graduadas R/H e R/G têm a mesma série de Hilbert.