Em álgebra comutativa, o teorema do ideal principal de Krull, nomeado em homenagem a Wolfgang Krull (1899–1971), estabelece um limite na altura de um ideal principal em um anel noetheriano comutativo. O teorema é às vezes referido por seu nome em alemão, Krulls Hauptidealsatz (de Haupt- ("Principal") + ideal + Satz ("teorema")).
Precisamente, se for um anel noetheriano e for um ideal próprio e principal de , então cada ideal primo minimal contendo tem altura de no máximo um.
Este teorema pode ser generalizado para ideais que não são principais, e o resultado é frequentemente chamado de teorema da altura de Krull. Isto diz que se for um anel noetheriano e for um ideal próprio gerado por elementos de , então cada primo minimal sobre tem altura de no máximo . A recíproca também é verdadeira: se um ideal primo tiver altura , então ele é um ideal primo minimal sobre um ideal gerado por elementos.
Tanto o teorema do ideal principal quanto a generalização, o teorema da altura, seguem do teorema fundamental da teoria da dimensão na álgebra comutativa (veja também abaixo as provas diretas). A obra Álgebra Comutativa de Bourbaki fornece uma prova direta. O livro Commutative Rings de Kaplansky inclui uma prova devida a David Rees.
Demonstrações Demonstração do teorema do ideal principal Seja um anel noetheriano, um elemento do mesmo e um primo minimal sobre . Substituindo pela localização , podemos assumir que é local com o ideal maximal . Seja um ideal primo estritamente menor e seja , que é um ideal -primário chamado de n-ésima potência simbólica de . Ele forma uma cadeia descendente de ideais . Assim, existe a cadeia descendente de ideais no anel . Agora, o radical é a interseção de todos os ideais primos minimais contendo ; está entre eles. Mas é um único ideal maximal e, portanto, . Como contém alguma potência de seu radical, segue-se que é um anel artiniano e, assim, a cadeia estabiliza, de modo que existe algum tal que . Isso implica: ,
pelo fato de que é -primário (se está em , então com e . Como é minimal sobre , tem-se que e, assim, implica que está em .) Agora, quocientando ambos os lados por obtém-se . Então, pelo Lema de Nakayama (que diz que um módulo finitamente gerado é zero se para algum ideal contido no radical de Jacobson), obtemos ; isto é, e, assim, . Usando o lema de Nakayama novamente, temos e que é um anel artiniano; portanto, a altura de é zero.
Demonstração do teorema da altura O teorema da altura de Krull pode ser provado como uma consequência do teorema do ideal principal por indução no número de elementos. Sejam elementos em , um primo minimal sobre e um ideal primo tal que não há nenhum primo estritamente entre eles. Substituindo pela localização , podemos assumir que é um anel local; observe que então temos . Pela minimalidade de , segue-se que não pode conter todos os ; renomeando os subscritos, digamos, . Como todo ideal primo contendo está entre e , tem-se que e, assim, podemos escrever para cada ,
com e . Agora consideramos o anel e a correspondente cadeia nele. Se for um primo minimal sobre , então contém e, assim, ; o que equivale a dizer que é um primo minimal sobre e logo, pelo teorema do ideal principal de Krull, é um primo minimal (sobre zero); é um primo minimal sobre . Por hipótese indutiva, e, portanto, .
Referências
Bibliografia
, ver particularmente a seção (12.I), p. 77
Categoria:Álgebra comutativa Categoria:Ideais (teoria de anéis) Categoria:Teoremas na teoria dos anéis