Em matemática, uma álgebra filtrada é uma generalização da noção de uma álgebra graduada. Exemplos aparecem em muitos ramos da matemática, especialmente na álgebra homológica e na teoria de representação.

Uma álgebra filtrada sobre o corpo é uma álgebra sobre que possui uma sequência crescente de subespaços de tal que

e que é compatível com a multiplicação no seguinte sentido:

Álgebra graduada associada Em geral, existe a seguinte construção que produz uma álgebra graduada a partir de uma álgebra filtrada.

Se é uma álgebra filtrada, então a álgebra graduada associada é definida da seguinte forma: A multiplicação é bem definida e dota com a estrutura de uma álgebra graduada, com graduação Além disso, se é associativa, então também é. Da mesma forma, se é unital, tal que a unidade está em , então também será unital.

Como álgebras, e são distintas (com exceção do caso trivial em que é graduada), mas como espaços vetoriais elas são isomorfas. (Pode-se provar por indução matemática que é isomorfo a como espaços vetoriais).

Exemplos Qualquer álgebra graduada graduada por , por exemplo , tem uma filtração dada por .

Um exemplo de álgebra filtrada é a álgebra de Clifford de um espaço vetorial dotado de uma forma quadrática A álgebra graduada associada é , a álgebra exterior de

A álgebra simétrica no dual de um espaço afim é uma álgebra filtrada de polinômios; em um espaço vetorial, obtém-se, em vez disso, uma álgebra graduada.

A álgebra envolvente universal de uma álgebra de Lie também é naturalmente filtrada. O teorema PBW afirma que a álgebra graduada associada é simplesmente .

Os operadores diferenciais escalares em uma variedade formam uma álgebra filtrada onde a filtração é dada pelo grau dos operadores diferenciais. A álgebra graduada associada é a álgebra comutativa de funções suaves no fibrado cotangente que são polinomiais ao longo das fibras da projeção .

A álgebra de grupo de um grupo com uma função de comprimento é uma álgebra filtrada.

Ver também Filtração (matemática) Função de comprimento

Referências

Bibliografia

Categoria:Álgebra Categoria:Álgebra homológica