Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt

Em matemática, mais especificamente na teoria das álgebras de Lie, o teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (ou teorema PBW) é um resultado que fornece uma descrição explícita da álgebra envolvente universal de uma álgebra de Lie. Seu nome é uma homenagem a Henri Poincaré, Garrett Birkhoff e Ernst Witt.

Os termos teorema do tipo PBW e teorema PBW também podem se referir a vários análogos do teorema original, comparando uma álgebra filtrada com a sua álgebra graduada associada, em particular na área de grupos quânticos.

Enunciado do teorema

Lembre-se de que qualquer espaço vetorial V sobre um corpo possui uma base; este é um conjunto S tal que qualquer elemento de V é uma combinação linear (finita) única de elementos de S. Na formulação do teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt consideramos bases nas quais os elementos são totalmente ordenados por alguma relação que denotamos por ≤.

Se L é uma álgebra de Lie sobre um corpo K, seja h o mapa linear canônico sobre K de L na álgebra envolvente universal U(L).

Teorema. Theorem 9.9 Seja L uma álgebra de Lie sobre K e X uma base totalmente ordenada de L. Um monômio canônico sobre X é uma sequência finita (x1, x2 ..., xn) de elementos de X que é não decrescente na ordem ≤, isto é, x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn. Estenda h para todos os monômios canônicos da seguinte forma: se (x1, x2, ..., xn) for um monômio canônico, seja

Então h é injetora no conjunto dos monômios canônicos e a imagem desse conjunto forma uma base para U(L) como um K-espaço vetorial.

Declarado de uma forma um pouco diferente, considere Y = h(X). Y é totalmente ordenado pela ordenação induzida de X. O conjunto de monômios

onde y1 < y2 < ... < yn são elementos de Y, e os expoentes são não negativos, juntamente com a unidade multiplicativa 1, formam uma base para U(L). Note que o elemento unitário 1 corresponde ao monômio canônico vazio. O teorema então afirma que estes monômios formam uma base para U(L) como um espaço vetorial. É fácil ver que esses monômios geram U(L); o conteúdo do teorema é que eles são linearmente independentes.

A estrutura multiplicativa de U(L) é determinada pelas constantes de estrutura na base X, isto é, os coeficientes tais que

Esta relação permite reduzir qualquer produto de ys a uma combinação linear de monômios canônicos: As constantes de estrutura determinam yiyj – yjyi, ou seja, o que fazer para alterar a ordem de dois elementos de Y em um produto. Este fato, módulo um argumento indutivo sobre o grau de monômios (não canônicos), mostra que sempre se pode obter produtos onde os fatores são ordenados de forma não decrescente.

O teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt pode ser interpretado como dizendo que o resultado final desta redução é único e não depende da ordem em que se troca os elementos adjacentes.Corolário. Se L é uma álgebra de Lie sobre um corpo, o mapa canônico L → U(L) é injetor. Em particular, qualquer álgebra de Lie sobre um corpo é isomorfa a uma subálgebra de Lie de uma álgebra associativa.

Contextos mais gerais

Já em seus estágios iniciais, sabia-se que K poderia ser substituído por qualquer anel comutativo, desde que L seja um K-módulo livre, ou seja, possua uma base como acima.

Para estender ao caso em que L não é mais um K-módulo livre, é necessário fazer uma reformulação que não utilize bases. Isso envolve substituir o espaço de monômios em alguma base pela álgebra simétrica, S(L), sobre L.

No caso em que K contém o corpo dos números racionais, pode-se considerar o mapa natural de S(L) para U(L), enviando um monômio , para , para o elemento

Então, tem-se o teorema de que este mapa é um isomorfismo de K-módulos.

De forma ainda mais geral e natural, pode-se considerar U(L) como uma álgebra filtrada, equipada com a filtração dada ao especificar que reside no grau filtrado . O mapa L → U(L) de K-módulos se estende canonicamente a um mapa T(L) → U(L) de álgebras, onde T(L) é a álgebra tensorial sobre L (por exemplo, pela propriedade universal das álgebras tensoriais), e este é um mapa filtrado que equipa T(L) com a filtração colocando L no grau um (na verdade, T(L) é graduada). Então, passando para a graduada associada, obtém-se um morfismo canônico T(L) → grU(L), que anula os elementos vw - wv para v, w ∈ L, e, portanto, descende a um morfismo canônico S(L) → grU(L). Então, o teorema PBW (graduado) pode ser reformulado como a afirmação de que, sob certas hipóteses, este morfismo final é um isomorfismo de álgebras comutativas.

Isto não é verdadeiro para todos os K e L (veja, por exemplo, a última seção do artigo de Cohn de 1961), mas é verdadeiro em muitos casos. Estes incluem os supracitados, onde ou L é um K-módulo livre (portanto, sempre que K for um corpo), ou K contém o corpo dos números racionais. Mais genericamente, o teorema PBW conforme formulado acima se estende a casos onde (1) L é um K-módulo plano, (2) L é livre de torção como um grupo abeliano, (3) L é uma soma direta de módulos cíclicos (ou todas as suas localizações em ideais primos de K têm esta propriedade), ou (4) K é um domínio de Dedekind. Veja, por exemplo, o artigo de 1969 de Higgins para essas afirmações.

Finalmente, vale a pena notar que, em alguns destes casos, também se obtém a afirmação mais forte de que o morfismo canônico S(L) → grU(L) se levanta para um isomorfismo de K-módulos S(L) → U(L), sem tomar a graduada associada. Isto é verdadeiro nos primeiros casos mencionados, onde L é um K-módulo livre, ou K contém o corpo dos números racionais, utilizando a construção delineada aqui (na verdade, o resultado é um isomorfismo de coálgebra, e não meramente um isomorfismo de K'''-módulos, equipando tanto S(L) quanto U(L) com suas estruturas de coálgebra naturais tais que para v ∈ L). Esta afirmação mais forte, no entanto, pode não se estender a todos os casos do parágrafo anterior.

História do teorema Em quatro artigos da década de 1880, Alfredo Capelli provou, usando terminologia diferente, o que hoje é conhecido como o teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt no caso de a álgebra de Lie linear geral; enquanto Poincaré o enunciou de forma mais genérica mais tarde em 1900. Armand Borel afirma que estes resultados de Capelli foram "completamente esquecidos por quase um século", e ele não sugere que Poincaré estivesse ciente do resultado de Capelli.

Ton-That e Tran investigaram a história do teorema. Eles descobriram que a maioria das fontes anteriores ao livro de 1960 de Bourbaki o chama de teorema de Birkhoff-Witt. Seguindo essa velha tradição, Fofanova em sua entrada enciclopédica diz que Poincaré obteve a primeira variante do teorema. Ela diz ainda que o teorema foi subsequentemente completamente demonstrado por Witt e Birkhoff. Parece que as fontes pré-Bourbaki não estavam familiarizadas com o artigo de Poincaré.

Birkhoff e Witt não mencionam o trabalho de Poincaré em seus artigos de 1937. Cartan e Eilenberg chamam o teorema de Teorema de Poincaré-Witt e atribuem a prova completa a Witt. Bourbaki foram os primeiros a usar todos os três nomes em seu livro de 1960. Knapp apresenta uma clara ilustração da mudança de tradição. Em seu livro de 1986 ele o chama de Teorema de Birkhoff-Witt, enquanto em seu livro posterior de 1996 ele muda para Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt.

Não está claro se o resultado de Poincaré foi completo. Ton-That e Tran concluem que "Poincaré descobriu e demonstrou completamente este teorema pelo menos trinta e sete anos antes de Witt e Birkhoff". Por outro lado, eles apontam que "Poincaré faz várias afirmações sem se dar ao trabalho de prová-las". Suas próprias provas de todas as etapas são bastante longas, segundo sua própria admissão. Borel afirma que Poincaré "mais ou menos provou o teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt''" em 1900.

Referências

Bibliografia

Categoria:Álgebras de Lie Categoria:Teoremas de álgebra