O escoamento em redemoinho de von Kármán (ou escoamento rotativo de von Kármán) é um escoamento criado por um disco plano infinitamente longo girando uniformemente, nomeado em homenagem a Theodore von Kármán, que resolveu o problema em 1921. O disco em rotação atua como uma bomba de fluido e é usado como um modelo para ventiladores ou compressores centrífugos. Este escoamento é classificado na categoria de escoamentos permanentes nos quais a vorticidade gerada numa superfície sólida é impedida de se difundir para longe por uma convecção oposta, sendo outros exemplos a camada limite de Blasius com sucção, o escoamento de ponto de estagnação, etc.

Descrição do escoamento Considere um disco plano de raio infinito girando a uma velocidade angular constante Ω num fluido que está inicialmente em repouso em toda a parte. Perto da superfície, o fluido é girado pelo disco, devido ao atrito, o que então causa forças centrífugas que movem o fluido para fora. Este movimento radial do fluido para fora próximo ao disco deve ser acompanhado por um movimento axial do fluido para dentro, em direção ao disco, para conservar a massa. Theodore von Kármán notou que as equações governantes e as condições de contorno permitem uma solução tal que u/r, v/r e w são funções apenas de z, onde (u, v, w) são as componentes da velocidade em coordenadas cilíndricas (r, θ, z), sendo r = 0 o eixo de rotação e z = 0 representando o disco plano. Devido à simetria, a pressão do fluido pode depender apenas das coordenadas radial e axial p = p(r, z). Então a equação da continuidade e as equações de Navier-Stokes incompressíveis se reduzem a

onde ν é a viscosidade cinemática.

Sem rotação no infinito thumb|300px|As velocidades e a pressão de similaridade do escoamento em redemoinho de Von Kármán para um disco rotativo infinito em função da distância acima do disco. Uma vez que não há rotação no infinito (para um z grande, z → ∞), p(r, z) torna-se independente de r, resultando em p = p(z). Portanto, f(r) = constante e ∂p/∂r = 0.

Aqui as condições de contorno para o fluido em z > 0 são:

A solução autossimilar é obtida introduzindo a seguinte transformação:

onde ρ é a densidade do fluido.

As equações autossimilares são:

com as condições de contorno para o fluido em η > 0 sendo:

As equações diferenciais ordinárias acopladas precisam ser resolvidas numericamente e uma solução precisa é dada por Cochran. A velocidade axial de entrada no infinito obtida a partir da integração numérica é , de modo que o fluxo volumétrico total de saída através de uma superfície cilíndrica de raio r é . A tensão tangencial no disco é . Negligenciando os efeitos de borda, o torque exercido pelo fluido no disco com raio R grande (), porém finito, é:

O fator 2 é adicionado para contabilizar ambos os lados do disco. A partir da solução numérica, o torque é dado por . O torque previsto pela teoria está em excelente concordância com o experimento em discos grandes até um número de Reynolds de cerca de ; o escoamento torna-se turbulento em altos números de Reynolds.

Rotação de corpo rígido no infinito Este problema foi abordado por George Keith Batchelor (1951). Seja Γ a velocidade angular no infinito. Agora, a pressão quando z → ∞ é . Consequentemente, e ∂p/∂r = Γ². Então, as condições de contorno para o fluido em z > 0 são:

A solução autossimilar é obtida introduzindo a seguinte transformação:

As equações autossimilares são:

com as condições de contorno para o fluido em η > 0 sendo:

A solução é fácil de obter apenas para γ > 0, ou seja, o fluido no infinito gira no mesmo sentido que a placa. Para γ < 0, a solução é mais complexa, no sentido de que ocorrem múltiplos ramos de solução. Evans (1969) obteve solução para a faixa −1,35 < γ < −0,61. Zandbergen e Dijkstra mostraram que a solução exibe uma singularidade de raiz quadrada à medida que γ− → −0,16053876 e encontraram um segundo ramo de solução que se funde com a solução encontrada para γ → −0,16053876. A solução do segundo ramo é continuada até γ− → 0,07452563, ponto em que se constata a emergência de um terceiro ramo de solução. Eles também descobriram uma infinidade de ramos de solução ao redor do ponto γ− → 0. Bodoyni (1975) calculou soluções para um γ negativo grande e mostrou que a solução colapsa em γ− = −1,436. Se for permitido que a placa rotativa tenha uma velocidade de sucção uniforme na placa, então uma solução significativa pode ser obtida para γ ≤ −0,2.

Para 0 < γ < ∞, com γ ≠ 1 (γ = 1 representa rotação de corpo rígido, o fluido todo gira na mesma velocidade), a solução atinge a rotação de corpo rígido no infinito de maneira oscilatória a partir da placa. A velocidade axial é negativa (w < 0) para 0 ≤ γ < 1 e positiva (w > 0) para 1 < γ < ∞. Existe uma solução explícita quando |γ − 1| ≪ 1.

Quase girando à mesma velocidade, |γ − 1| ≪ 1 Uma vez que ambas as condições de contorno para G são quase iguais a um, seria de se esperar que a solução para G se desviasse ligeiramente da unidade. As escalas correspondentes para F e H podem ser derivadas das equações autossimilares. Portanto,

Para a aproximação de primeira ordem (negligenciando ), a equação autossimilar torna-se:

com soluções exatas:

Estas soluções são semelhantes à solução de uma camada de Ekman.

Soluções não axi-simétricas Fonte:

O escoamento aceita uma solução não axi-simétrica com condições de contorno axi-simétricas descobertas por Hewitt, Duck e Foster. Definindo:

e as equações governantes são:

com condições de contorno:

A solução é encontrada a partir da integração numérica para −0,14485 ≤ γ ≤ 0.

Escoamento de Bödewadt O escoamento de Bödewadt descreve o fluxo quando um disco estacionário é colocado em um fluido em rotação.

Dois discos coaxiais em rotação Este problema foi abordado por George Keith Batchelor (1951), Keith Stewartson (1952) e muitos outros pesquisadores. Aqui a solução não é simples, devido à escala de comprimento adicional imposta no problema, isto é, a distância h entre os dois discos. Além disso, a unicidade e a existência de uma solução permanente dependem também do número de Reynolds correspondente . Assim, as condições de contorno para o fluido em 0 < z < h são:

Em termos de η, a localização da parede superior é simplesmente . Assim, em vez dos dimensionamentos

usados antes, é conveniente introduzir a seguinte transformação:

de modo que as equações governantes se tornam:

com seis condições de contorno:

e a pressão é dada por:

Aqui as condições de contorno são seis porque a pressão não é conhecida nem na parede superior nem na inferior; λ deve ser obtido como parte da solução. Para um grande número de Reynolds Re ≫ 1, Batchelor argumentou que o fluido no núcleo giraria a uma velocidade constante, ladeado por duas camadas limites em cada disco para γ ≥ 0 e que haveria dois escoamentos uniformes em contrarotação de espessura ξ = 1/2 para γ = −1. No entanto, Stewartson previu que para γ = 0, −1 o fluido no núcleo não giraria para Re ≫ 1, mas restariam apenas duas camadas limite em cada disco. Acontece que as previsões de Stewartson estavam corretas (veja Camada de Stewartson).

Há também uma solução exata se os dois discos estiverem girando sobre eixos diferentes, mas para γ = 1.

Aplicações center|frame|Visualização experimental de uma chama de difusão em espiral de metano/ar em um escoamento em redemoinho de von Kármán gerado por um queimador de disco poroso em rotação (falsa cor). O escoamento em redemoinho de von Kármán encontra suas aplicações em uma ampla gama de campos, que incluem máquinas rotativas, sistemas de filtragem, dispositivos de armazenamento de computador, aplicações de transferência de calor e transferência de massa, problemas relacionados à combustão, formações planetárias, aplicações geofísicas etc.

Referências

Bibliografia

Categoria:Dinâmica de fluidos Categoria:Regimes de escoamento