A equação de quantidade de movimento de Cauchy é uma equação diferencial parcial vetorial proposta por Augustin-Louis Cauchy que descreve o transporte não relativístico de quantidade de movimento em qualquer meio contínuo.
Equação principal Na forma convectiva (ou lagrangiana) a equação de quantidade de movimento de Cauchy é escrita como:
onde é o campo vetorial da velocidade do escoamento, que depende do tempo e do espaço, (unidade: ) é o tempo, (unidade: ) é a derivada material de , igual a , (unidade: ) é a densidade em um dado ponto do contínuo (para a qual a equação da continuidade é válida), (unidade: ) é o tensor de tensão, (unidade: ) é um vetor contendo todas as acelerações de corpo (às vezes simplesmente a aceleração da gravidade), (unidade: ) é o divergente do tensor de tensão. (unidade: )
Unidades do SI comumente usadas são dadas entre parênteses, embora as equações sejam de natureza geral e outras unidades possam ser inseridas nelas ou as unidades podem ser completamente removidas por adimensionalização.
Note que usamos vetores coluna (no sistema de coordenadas cartesianas) acima para maior clareza, mas a equação é escrita usando componentes físicas (que não são nem covariantes ("coluna") nem contravariantes ("linha")). No entanto, se escolhermos um sistema de coordenadas curvilíneas não ortogonal, então devemos calcular e escrever as equações na forma covariante ("vetores linha") ou contravariante ("vetores coluna").
Após uma mudança apropriada de variáveis, ela também pode ser escrita na forma de conservação:
onde é a densidade de quantidade de movimento em um dado ponto do espaço-tempo, é o fluxo associado à densidade de quantidade de movimento, e contém todas as forças de corpo por unidade de volume.
Dedução diferencial Vamos começar com o princípio generalizado de conservação da quantidade de movimento, que pode ser escrito da seguinte forma: "A mudança na quantidade de movimento do sistema é proporcional à força resultante que atua sobre este sistema". É expresso pela fórmula:
onde é a quantidade de movimento no tempo , e é a força média no intervalo . Após dividir por e passar ao limite obtemos a (derivada):
Vamos analisar cada lado da equação acima.
Lado direito
thumb|O componente X das forças atuando nas paredes de um elemento cúbico de fluido (verde para paredes superior-inferior; vermelho para esquerda-direita; preto para frente-trás). thumb|No gráfico superior vemos a aproximação da função (linha azul) usando uma diferença finita (linha amarela). No gráfico inferior vemos a "vizinhança do ponto ampliada infinitas vezes" (quadrado roxo do gráfico superior). No gráfico inferior, a linha amarela está completamente coberta pela azul, portanto não visível. Na figura inferior, foram usadas duas formas equivalentes de derivada: ], e a designação foi usada.
Dividimos as forças em forças de corpo e forças de superfície
As forças de superfície atuam nas paredes do elemento cúbico de fluido. Para cada parede, o componente X dessas forças foi marcado na figura com um elemento cúbico (na forma de um produto da tensão pela área superficial, por exemplo, com unidades ).
Explicação do valor das forças (aproximações e sinais negativos) atuando nas paredes do cubo.É necessária alguma explicação sobre por que a tensão aplicada às paredes que cobrem os eixos coordenados assume um sinal negativo (por exemplo, para a parede esquerda temos ). Para simplificar, vamos nos concentrar na parede esquerda com tensão . O sinal negativo se deve ao fato de que o vetor normal a esta parede é um vetor unitário negativo. Então, calculamos o vetor de tensão por definição , assim o componente X deste vetor é (usamos raciocínio semelhante para as tensões atuando nas paredes inferior e traseira, ou seja: ).
O segundo elemento que requer explicação é a aproximação dos valores da tensão atuando nas paredes opostas às paredes que cobrem os eixos. Vamos nos concentrar na parede direita onde a tensão é uma aproximação da tensão da parede esquerda em pontos com coordenadas e é igual a . Esta aproximação é suficiente, pois quando tende a zero, também tende a zero, pela definição de derivada parcial.
Uma representação mais intuitiva do valor da aproximação no ponto foi mostrada na figura abaixo do cubo. Prosseguimos com raciocínio semelhante para as aproximações de tensão .
Somando as forças (seus componentes X) atuando em cada uma das paredes do cubo, obtemos:
Após ordenar e realizar raciocínio semelhante para os componentes (eles não foram mostrados na figura, mas seriam vetores paralelos aos eixos Y e Z, respectivamente) obtemos:
Podemos então escrevê-lo na forma operacional simbólica:
Existem forças de massa atuando no interior do volume de controle. Podemos escrevê-las usando o campo de forças de corpo (por exemplo, aceleração gravitacional):
Lado esquerdo
Vamos calcular a quantidade de movimento do cubo:
Porque assumimos que a massa testada (cubo) é constante no tempo, então
Comparação entre os lados esquerdo e direito Temos
então
então
Dividindo ambos os lados por , e como obtemos:
o que conclui a dedução.
Dedução integral Aplicando a segunda lei de Newton (componente ) a um volume de controle no contínuo modelado, obtemos:
Então, com base no teorema de transporte de Reynolds e usando a notação de derivada material, pode-se escrever
onde representa o volume de controle. Como esta equação deve ser válida para qualquer volume de controle, é necessário que o integrando seja zero, a partir do qual segue a equação de quantidade de movimento de Cauchy. O passo principal (não realizado acima) na dedução desta equação é estabelecer que a derivada do tensor de tensão é uma das forças que constitui .
Forma de conservação
A equação de quantidade de movimento de Cauchy também pode ser colocada na seguinte forma:
simplesmente definindo:
onde é a densidade de quantidade de movimento no ponto considerado no contínuo (para o qual a equação da continuidade é válida), é o fluxo associado à densidade de quantidade de movimento, e contém todas as forças de corpo por unidade de volume. é o produto externo da velocidade com ela mesma.
Aqui e têm o mesmo número de dimensões que a velocidade do escoamento e a aceleração de corpo, enquanto , sendo um tensor, tem .Em 3D, por exemplo, com respeito a algum sistema de coordenadas, o vetor tem 3 componentes, enquanto os tensores e têm 9 (3×3), então as formas explícitas escritas como matrizes seriam:
Observe, no entanto, que se for simétrico, conterá apenas 6 graus de liberdade. E a simetria de é equivalente à simetria de (que estará presente para os tensores de tensão de Cauchy mais comuns), uma vez que produtos externos de vetores consigo mesmos são sempre simétricos.
Nas formas eulerianas é aparente que a suposição de ausência de tensão desviadora leva as equações de Cauchy às equações de Euler.
Aceleração convectiva thumb|Um exemplo de aceleração convectiva. O escoamento é estacionário (independente do tempo), mas o fluido desacelera à medida que se move para baixo no duto divergente (assumindo escoamento compressível subsônico ou incompressível).
Uma característica significativa das equações de Navier–Stokes é a presença de aceleração convectiva: o efeito da aceleração independente do tempo de um escoamento em relação ao espaço. Embora as partículas individuais do contínuo experimentem aceleração dependente do tempo, a aceleração convectiva do campo de escoamento é um efeito espacial, sendo um exemplo o fluido acelerando em um bocal.
Independentemente do tipo de contínuo com o qual se está lidando, a aceleração convectiva é um efeito não linear. A aceleração convectiva está presente na maioria dos escoamentos (exceções incluem o escoamento incompressível unidimensional), mas seu efeito dinâmico é desprezado no escoamento de Stokes (também chamado de escoamento de rastejamento). A aceleração convectiva é representada pela quantidade não linear , que pode ser interpretada como ou como , com sendo a derivada de tensor do vetor velocidade . Ambas as interpretações dão o mesmo resultado.
Operador de advecção vs derivada de tensor A aceleração convectiva pode ser pensada como o operador de advecção atuando no campo de velocidade . Isso contrasta com a expressão em termos da derivada de tensor , que é a derivada componente a componente do vetor velocidade definida por , de modo que
Forma de Lamb A identidade de cálculo vetorial do produto vetorial de um rotacional é válida:
onde a notação de subscrito de Feynman é usada, o que significa que o gradiente subscrito opera apenas no fator .
Lamb em seu famoso livro clássico Hydrodynamics (1895), usou esta identidade para mudar o termo convectivo da velocidade do escoamento para a forma rotacional, ou seja, sem uma derivada de tensor:
onde o vetor é chamado de vetor de Lamb. A equação de quantidade de movimento de Cauchy torna-se:
Usando a identidade:
a equação de Cauchy torna-se:
De fato, no caso de um campo conservativo externo, definindo seu potencial :
No caso de um escoamento estacionário, a derivada temporal da velocidade do escoamento desaparece, então a equação da quantidade de movimento torna-se:
E projetando a equação da quantidade de movimento na direção do escoamento, ou seja, ao longo de uma linha de corrente, o produto vetorial desaparece devido a uma identidade de cálculo vetorial do produto triplo escalar:
Se o tensor de tensão é isotrópico, então apenas a pressão entra: (onde é o tensor identidade), e a equação de quantidade de movimento de Euler no caso estacionário incompressível torna-se:
No caso estacionário incompressível, a equação da massa é simplesmente:
isto é, a conservação da massa para um escoamento incompressível estacionário afirma que a densidade ao longo de uma linha de corrente é constante. Isso leva a uma simplificação considerável da equação de quantidade de movimento de Euler:
A conveniência de definir a carga total para um escoamento de líquido não viscoso é agora aparente:
de fato, a equação acima pode ser simplesmente escrita como:
Isto é, o balanço de quantidade de movimento para um escoamento estacionário, não viscoso e incompressível em um campo conservativo externo afirma que a carga total ao longo de uma linha de corrente é constante.
Escoamentos irrotacionais A forma de Lamb também é útil em escoamento irrotacional, onde o rotacional da velocidade (chamado vorticidade) é igual a zero. Nesse caso, o termo de convecção em se reduz a
Tensões O efeito da tensão no escoamento do contínuo é representado pelos termos e ; estes são gradientes de forças de superfície, análogos às tensões em um sólido. Aqui é o gradiente de pressão e surge da parte isotrópica do tensor de tensão de Cauchy. Esta parte é dada pelas tensões normais que ocorrem em quase todas as situações. A parte anisotrópica do tensor de tensão dá origem a , que geralmente descreve forças viscosas; para escoamento incompressível, isto é apenas um efeito de cisalhamento. Assim, é o tensor de tensão desviadora, e o tensor de tensão é igual a:
onde é a matriz identidade no espaço considerado e é o tensor de cisalhamento.
Todas as equações de conservação de quantidade de movimento não relativísticas, como a equação de Navier–Stokes, podem ser derivadas começando com a equação de quantidade de movimento de Cauchy e especificando o tensor de tensão através de uma relação constitutiva. Ao expressar o tensor de cisalhamento em termos de viscosidade e velocidade do fluido, e assumindo densidade e viscosidade constantes, a equação de quantidade de movimento de Cauchy levará às equações de Navier–Stokes. Ao assumir escoamento não viscoso, as equações de Navier–Stokes podem ser ainda mais simplificadas para as equações de Euler.
O divergente do tensor de tensão pode ser escrito como
O efeito do gradiente de pressão no escoamento é acelerar o escoamento na direção da alta pressão para a baixa pressão.