Geometria de distâncias é o ramo da matemática preocupado com a caracterização e o estudo de conjuntos de pontos baseado apenas em valores dados das distâncias entre pares de pontos. Mais abstratamente, é o estudo de espaços semimétricos e as transformações isométricas entre eles. Sob essa ótica, pode ser considerado um tópico dentro da topologia geral.

Historicamente, o primeiro resultado na geometria de distâncias é a Fórmula de Herão no século I d.C. A teoria moderna começou no século XIX com o trabalho de Arthur Cayley, seguida por desenvolvimentos mais extensos no século XX por Karl Menger e outros.

Problemas de geometria de distâncias surgem sempre que se precisa inferir a forma de uma configuração de pontos (posições relativas) a partir das distâncias entre eles, como na biologia, redes de sensores, agrimensura, navegação, cartografia e física.

Introdução e definições Os conceitos de geometria de distâncias serão explicados primeiro descrevendo dois problemas particulares.

Primeiro problema: navegação hiperbólica Considere três estações de rádio terrestres A, B, C, cujas localizações são conhecidas. Um receptor de rádio está em uma localização desconhecida. Os tempos que leva para um sinal de rádio viajar das estações até o receptor, , são desconhecidos, mas as diferenças de tempo, e , são conhecidas. A partir delas, conhecem-se as diferenças de distância e , das quais a posição do receptor pode ser encontrada.

Segundo problema: redução de dimensionalidade Na análise de dados, frequentemente recebe-se uma lista de dados representados como vetores , e é preciso descobrir se eles estão dentro de um subespaço afim de baixa dimensão. Uma representação de baixa dimensão dos dados tem muitas vantagens, como economizar espaço de armazenamento, tempo de computação e fornecer uma melhor compreensão dos dados.

Definições Agora formalizamos algumas definições que surgem naturalmente ao considerar nossos problemas.

Espaço semimétrico Dada uma lista de pontos em , , podemos especificar arbitrariamente as distâncias entre pares de pontos por uma lista de , . Isso define um espaço semimétrico: um espaço métrico sem a desigualdade triangular.

Explicitamente, definimos um espaço semimétrico como um conjunto não vazio equipado com uma semimétrica tal que, para todos ,

Positividade:   se e somente se  . Simetria: .

Qualquer espaço métrico é a fortiori um espaço semimétrico. Em particular, , o espaço euclidiano -dimensional, é o espaço métrico canônico na geometria de distâncias.

A desigualdade triangular é omitida na definição, porque não queremos impor mais restrições às distâncias do que o mero requisito de que sejam positivas.

Na prática, espaços semimétricos surgem naturalmente de medições imprecisas. Por exemplo, dados três pontos em uma linha, com , uma medição imprecisa poderia resultar em , violando a desigualdade triangular.

Imersão isométrica Dados dois espaços semimétricos, , uma imersão isométrica de para é um mapeamento que preserva a semimétrica, ou seja, para todos , .

Por exemplo, dado o espaço semimétrico finito definido acima, uma imersão isométrica de para é definida pelos pontos , tal que para todos .

Independência afim Dados os pontos , eles são definidos como afinmente independentes, sse eles não podem caber dentro de um único subespaço afim -dimensional de , para qualquer , sse o -simplex que eles geram, , tem -volume positivo, ou seja, .

Em geral, quando , eles são afinmente independentes, uma vez que um n-simplex genérico é não degenerado. Por exemplo, 3 pontos no plano, em geral, não são colineares, porque o triângulo que eles formam não degenera em um segmento de reta. Da mesma forma, 4 pontos no espaço, em geral, não são coplanares, porque o tetraedro que eles formam não degenera em um triângulo plano.

Quando , eles devem ser afinmente dependentes. Isso pode ser visto notando que qualquer -simplex que possa caber dentro de deve ser "plano".

Determinantes de Cayley-Menger

Os determinantes de Cayley-Menger, nomeados em homenagem a Arthur Cayley e Karl Menger, são determinantes de matrizes de distâncias entre conjuntos de pontos.

Sejam n + 1 pontos em um espaço semimétrico, seu determinante de Cayley-Menger é definido por

Se , então eles formam os vértices de um n-simplex possivelmente degenerado em . Pode ser mostrado que o volume n-dimensional do simplex satisfaz

Note que, para o caso de , temos , significando que o "volume 0-dimensional" de um 0-simplex é 1, ou seja, há 1 ponto em um 0-simplex.

são afinmente independentes sse , isto é, . Assim, os determinantes de Cayley-Menger fornecem uma maneira computacional de provar a independência afim.

Se , então os pontos devem ser afinmente dependentes, logo . O artigo de Cayley de 1841 estudou o caso especial de , ou seja, quaisquer cinco pontos no espaço tridimensional devem ter .

História O primeiro resultado na geometria de distâncias é a Fórmula de Herão, do século I d.C., que fornece a área de um triângulo a partir das distâncias entre seus 3 vértices. A Fórmula de Brahmagupta, do século VII d.C., generaliza-a para quadriláteros cíclicos. Tartaglia, no século XVI d.C., generalizou-a para fornecer o volume de um tetraedro a partir das distâncias entre seus 4 vértices.

A teoria moderna da geometria de distâncias começou com Arthur Cayley e Karl Menger. Cayley publicou o determinante de Cayley em 1841, que é um caso especial do determinante geral de Cayley-Menger. Menger provou em 1928 um teorema de caracterização de todos os espaços semimétricos que são isometricamente imersíveis no espaço euclidiano n-dimensional. Em 1931, Menger usou relações de distância para dar um tratamento axiomático à geometria euclidiana.

O livro de Leonard Blumenthal fornece uma visão geral da geometria de distâncias em nível de pós-graduação, uma grande parte da qual foi tratada em inglês pela primeira vez quando foi publicada.

Teorema de caracterização de Menger Menger provou o seguinte teorema de caracterização de espaços semimétricos:Um espaço semimétrico é isometricamente imersível no espaço euclidiano n-dimensional, mas não em para qualquer , se e somente se:

contém um subconjunto de pontos que é isométrico a um subconjunto de pontos afinmente independentes de ; qualquer subconjunto de pontos, obtido adicionando quaisquer dois pontos adicionais de a , é congruente a um subconjunto de pontos de .Uma prova deste teorema em uma forma ligeiramente enfraquecida (para espaços métricos em vez de espaços semimétricos) está em.

Caracterização via determinantes de Cayley-Menger Os seguintes resultados são provados no livro de Blumenthal.

Imersão de n + 1 pontos nos números reais Dado um espaço semimétrico , com , e , , uma imersão isométrica de em é definida por , tal que para todos .

Novamente, pergunta-se se tal imersão isométrica existe para .

Uma condição necessária é fácil de ver: para todos , seja o k-simplex formado por , então

A recíproca também é válida. Ou seja, se para todos ,

então tal imersão existe.

Além disso, tal imersão é única a menos de isometria em . Isto é, dadas quaisquer duas imersões isométricas definidas por , e , existe uma isometria (não necessariamente única) , tal que para todos . Tal é única se e somente se , ou seja, são afinmente independentes.

Imersão de n + 2 e n + 3 pontos Se pontos podem ser imersos em como , então, além das condições acima, uma condição necessária adicional é que o -simplex formado por , não deve ter volume -dimensional. Ou seja, .

A recíproca também é válida. Ou seja, se para todos ,

e

então tal imersão existe.

Para imergir pontos em , as condições necessárias e suficientes são semelhantes:

Para todos , ;

Imersão de um número arbitrário de pontos O caso acaba sendo suficiente em geral.

Em geral, dado um espaço semimétrico , ele pode ser isometricamente imerso em se e somente se existir , tal que, para todos , , e para quaisquer ,

E tal imersão é única a menos de isometria em .

Além disso, se , então não pode ser isometricamente imerso em qualquer . E tal imersão é única a menos de isometria única em .

Assim, os determinantes de Cayley-Menger fornecem uma maneira concreta de calcular se um espaço semimétrico pode ser imerso em , para algum finito, e em caso afirmativo, qual é o mínimo.

Aplicações

Existem muitas aplicações da geometria de distâncias.

Em redes de telecomunicações como o GPS, as posições de alguns sensores são conhecidas (que são chamados de âncoras) e algumas das distâncias entre os sensores também são conhecidas: o problema é identificar as posições de todos os sensores. A navegação hiperbólica é uma tecnologia pré-GPS que usa geometria de distâncias para localizar navios com base no tempo que leva para os sinais chegarem às âncoras.

Existem muitas aplicações em química. Técnicas como RMN podem medir distâncias entre pares de átomos de uma dada molécula, e o problema é inferir a forma tridimensional da molécula a partir dessas distâncias.

Alguns pacotes de software para aplicações são:

DGSOL. Resolve grandes problemas de geometria de distâncias na modelagem macromolecular. Xplor-NIH. Baseado no X-PLOR, para determinar a estrutura de moléculas com base em dados de experimentos de RMN. Resolve problemas de geometria de distâncias com métodos heurísticos (como recozimento simulado) e métodos de busca local (como minimização por gradiente conjugado). TINKER. Modelagem e design molecular. Pode resolver problemas de geometria de distâncias. SNLSDPclique. Código MATLAB para localizar sensores em uma rede de sensores com base nas distâncias entre os sensores.

Ver também Matriz de distância euclidiana Escalonamento multidimensional (uma técnica estatística usada quando as distâncias são medidas com erros aleatórios) Espaço métrico Fórmula de Tartaglia Triangulação Trilateração

Referências

Categoria:Geometria métrica Categoria:Determinantes