Em geodésia e navegação, um arco de meridiano é a curva entre dois pontos próximos da superfície da Terra que têm a mesma longitude. O termo pode designar um segmento de um meridiano ou o seu comprimento do arco. Em um elipsoide de referência biaxial, o meridiano geodésico é a curva formada pela interseção do elipsoide com um plano que contém seu eixo menor. Essa curva é uma elipse e todos os seus pontos têm a mesma longitude geodésica. A determinação prática de arcos de meridiano, feita com instrumentos de medição em campanhas de campo, e seu cálculo teórico, baseado em geometria e matemática, são estudados há séculos.

Medição

A medição de arcos de meridiano permite determinar a figura da Terra. Uma ou mais medições podem ser usadas para inferir a forma do elipsoide de referência que melhor aproxima o geoide na região observada. Medições feitas em diferentes latitudes e ao longo de muitos meridianos podem ser combinadas para obter um elipsoide geocêntrico ajustado à Terra inteira.

As primeiras determinações do tamanho de uma Terra esférica exigiam apenas um arco. Levantamentos de maior precisão, a partir do século XIX, passaram a exigir diferentes medições de arco na região a ser levantada, o que levou ao uso de muitos elipsoides de referência. Determinações posteriores passaram a empregar medições astrogeodésicas e métodos de geodésia por satélite para definir elipsoides de referência, em especial os elipsoides geocêntricos usados em sistemas globais de coordenadas, como o WGS84 (ver expressões numéricas).

Método clássico de medição Numa medição astrogeodésica clássica, determinam-se por observações astronômicas as latitudes dos extremos de um arco. A distância entre eles é obtida por levantamento geodésico e reduzida à superfície de referência. Para um arco curto de comprimento e diferença de latitude , em radianos, o raio meridiano médio de curvatura pode ser aproximado por . A comparação de arcos medidos em latitudes diferentes permite calcular parâmetros do elipsoide terrestre.

Em levantamentos extensos, uma linha de base era medida diretamente com grande cuidado. As demais distâncias eram calculadas por uma cadeia de triangulação, a partir dos ângulos observados entre estações.

História das medições

As primeiras estimativas do tamanho da Terra são conhecidas na Grécia do século IV a.C. e entre estudiosos da Casa da Sabedoria, em Bagdá, no século IX. O primeiro valor realista foi calculado pelo cientista de Alexandria Eratóstenes por volta de 240 a.C. Ele estimou que o meridiano tinha 252.000 estádios de comprimento. Dependendo do valor adotado para o estádio, entre 155 e 160 metros, o erro em relação ao valor real fica entre -2,4% e +0,8%. Eratóstenes explicou seu método em uma obra intitulada On the measure of the Earth, que não foi preservada. Posidônio empregou um método semelhante cerca de 150 anos depois.

Na China da dinastia Tang, uma campanha realizada em 724 e 725 sob a direção de Yi Xing mediu alturas do Sol e do polo celeste em diferentes locais, junto com distâncias terrestres no sentido norte-sul. O levantamento procurou estabelecer a relação entre a mudança da altura do polo e a distância percorrida, sem partir de um modelo esférico da Terra.

No início do século IX, o método de medição de arco voltou a ser usado sob o patrocínio do califa Almamune. Por volta de 830, astrônomos encarregados pelo califa mediram o comprimento correspondente a um grau de meridiano.

Em 1528, Jean Fernel publicou uma determinação do comprimento de um grau de meridiano entre Paris e Amiens. A distância terrestre havia sido calculada pela contagem das rotações das rodas de sua carruagem. Em 1615, Willebrord Snel van Royen empregou uma cadeia de triangulação para medir um arco e publicou seus resultados em Eratosthenes Batavus, de 1617.

Terra elipsoidal

Na geodésia, a Terra é normalmente aproximada por um elipsoide de revolução oblato, obtido pela rotação de uma elipse em torno de seu eixo menor. O sólido também é chamado de esferoide oblato. Um elipsoide com três semieixos diferentes é um elipsoide triaxial. Neste artigo, esferoide e elipsoide são usados para o modelo oblato quando não houver indicação em contrário.

Séculos XVII e XVIII Embora a forma esférica da Terra fosse conhecida desde a Antiguidade Clássica, no século XVII se acumulavam indícios de que ela não era uma esfera perfeita. Em 1672, Jean Richer verificou que a gravidade não era constante na superfície terrestre. Ao levar um relógio de pêndulo para Caiena, na Guiana Francesa, constatou que ele atrasava 2,5 minutos por dia em relação ao seu ritmo em Paris. Isso significava que a aceleração da gravidade era menor em Caiena do que em Paris. Gravímetros de pêndulo passaram a ser levados em viagens a regiões distantes, e verificou-se aos poucos que a gravidade aumenta com a latitude. A aceleração da gravidade é cerca de 0,5% maior nos polos geográficos do que no Equador.

Em 1687, Isaac Newton publicou no Principia um argumento de que a Terra era um esferoide oblato com achatamento igual a 1/230.Isaac Newton, Principia, livro III, proposição XIX, problema III, p. 405, tradução inglesa de Andrew Motte. Uma tradução moderna pesquisável está disponível em 17centurymaths e no arquivo em PDF. A conclusão foi contestada por parte dos cientistas franceses. Um arco de meridiano medido por Jean Picard foi ampliado para um arco mais longo por Giovanni Domenico Cassini e seu filho Jacques Cassini entre 1684 e 1718. O arco teve pelo menos três determinações de latitude. Com esses dados, foi possível obter as curvaturas médias das metades norte e sul e estimar a forma geral da Terra. Os resultados apontavam para um esferoide prolato, com raio equatorial menor que o raio polar.

Para resolver a controvérsia, a Academia de Ciências da França enviou em 1735 a expedição ao Peru, com Pierre Bouguer, Louis Godin, Charles Marie de La Condamine, Antonio de Ulloa e Jorge Juan y Santacilia, e a expedição à Lapônia, com Pierre Louis Maupertuis, Alexis Clairaut, Charles Étienne Louis Camus, Pierre Charles Le Monnier, Réginald Outhier e Anders Celsius. Na Lapônia, os observadores instalaram sinais em elevações ao longo do vale do rio Torne, mediram os ângulos entre eles com quadrantes e formaram uma cadeia de triangulação. Uma linha de base foi medida sobre o rio congelado e observações astronômicas nos extremos forneceram a diferença de latitude. As medições em latitudes equatoriais e polares confirmaram que a Terra era melhor modelada por um esferoide oblato, em concordância com Newton. Em 1743, o teorema de Clairaut já havia substituído a abordagem de Newton para esse problema.

No fim do século, Jean Baptiste Joseph Delambre voltou a medir o arco francês e o estendeu de Dunquerque ao mar Mediterrâneo, na medição conhecida como arco de Delambre e Méchain. O arco foi dividido em cinco partes por quatro determinações intermediárias de latitude. Combinadas às medições do arco do Peru, elas permitiram calcular parâmetros da forma do elipsoide. A distância entre o Equador e o polo ao longo do meridiano de Paris foi calculada em 5.130.762 toesas, tomando como referência a barra-padrão da toesa em Paris. Fixar essa distância em exatamente 10.000.000 m levou à construção de uma nova barra-padrão do metro, equivalente a 0,5130762 toesa.

Século XIX A Revolução Francesa de 1789 trouxe uma tentativa de reformar os padrões de medida. O processo levou a um amplo levantamento do meridiano que passa por Paris, usado na definição do metro.

A reforma foi entregue à Academia de Ciências da França, que nomeou uma comissão presidida por Jean-Charles de Borda. Em vez de usar o método do pêndulo de segundos, a comissão, da qual participavam Borda, Joseph-Louis Lagrange, Pierre-Simon Laplace, Gaspard Monge e Condorcet, decidiu que a nova medida seria igual à décima milionésima parte da distância do Polo Norte ao Equador, o quadrante da circunferência terrestre, medida ao longo do meridiano que atravessava Paris na longitude do Panteão de Paris, que se tornou a estação geodésica central da cidade. Delambre obteve as coordenadas fundamentais do Panteão triangulando, a partir de sua cúpula, as estações geodésicas em torno de Paris.

Além da possibilidade de acesso seguro para os agrimensores franceses, o meridiano de Paris tinha vantagens para o levantamento. O trecho do quadrante entre Dunquerque e Barcelona, com cerca de 1.000 km, aproximadamente um décimo do total, podia ser medido com pontos inicial e final ao nível do mar. Esse trecho ficava perto do meio do quadrante, onde se esperava que os efeitos do achatamento terrestre não precisassem ser considerados.

A expedição ocorreu depois do levantamento anglo-francês de 1784–1790. O arco do meridiano francês, estendido para o norte através do Reino Unido, também foi prolongado para o sul até Barcelona e depois às Ilhas Baleares. Jean-Baptiste Biot e François Arago publicaram em 1821 observações que completavam as de Delambre e Méchain. O trabalho examinava a variação do comprimento de trechos com um grau de amplitude ao longo do meridiano de Paris e a variação do comprimento do pêndulo de segundos ao longo do mesmo meridiano, entre as Shetland e as Ilhas Baleares.

A medição do arco ficou a cargo de Pierre Méchain e Jean-Baptiste Delambre e levou mais de seis anos, de 1792 a 1798. As dificuldades técnicas não foram os únicos obstáculos durante os anos posteriores à Revolução. Méchain e Delambre, e mais tarde François Arago, foram presos em diferentes ocasiões durante seus levantamentos. Méchain morreu em 1804 de febre amarela, contraída quando tentava melhorar seus resultados originais no norte da Espanha.

miniatura|esquerda|186px|As seções norte e sul do levantamento meridiano encontraram-se na Catedral de Rodez, vista à esquerda dominando o horizonte da cidade.

O projeto foi dividido em duas partes. A seção norte, com 742,7 km, ia do campanário da igreja de Saint-Éloi, em Dunquerque, à Catedral de Rodez e foi medida por Delambre. A seção sul, com 333,0 km, ia de Rodez à fortaleza de Montjuïc, em Barcelona, e foi medida por Méchain. Embora o setor de Méchain tivesse metade do comprimento do de Delambre, ele atravessava os Pirenéus e partes da Espanha que ainda não haviam sido levantadas.

Delambre mediu uma linha de base de cerca de 10 km, correspondente a 6.075,90 toesas, ao longo de uma estrada reta entre Melun e Lieusaint. A operação levou seis semanas e usou quatro réguas de platina com duas toesas cada. Uma toesa correspondia a cerca de 1,949 m. Em seguida, sempre que possível, ele aproveitou pontos de triangulação usados por Nicolas-Louis de Lacaille no levantamento de 1739–1740 do arco do meridiano francês entre Dunquerque e Collioure. A linha de base de Méchain tinha comprimento semelhante, 6.006,25 toesas, e também seguia um trecho reto de estrada, entre Vernet, na região de Perpinhã, e Salces, atual Salses-le-Château.

miniatura|Uma cópia do metro "provisório" instalada na parede de um edifício da rue de Vaugirard, em Paris. Esses padrões eram provisórios, em francês provisoire, porque a expedição e os cálculos da extensão definitiva do metro só terminaram em 1799.A placa na parede junto ao padrão.