Em matemática, a condição de cadeia ascendente (ACC) e a condição de cadeia descendente (DCC) são propriedades de finitude satisfeitas por algumas estruturas algébricas, mais importante entre elas os ideais em certos anéis comutativos. Essas condições desempenharam um papel importante no desenvolvimento da teoria da estrutura dos anéis comutativos nas obras de David Hilbert, Emmy Noether e Emil Artin. As próprias condições podem ser enunciadas de forma abstrata, de modo que fazem sentido para qualquer conjunto parcialmente ordenado. Esse ponto de vista é útil na teoria abstrata da dimensão algébrica devida a Gabriel e Rentschler.
Definição Diz-se que um conjunto parcialmente ordenado (poset) P satisfaz a condição de cadeia ascendente (ACC) se não existe nenhuma sequência estritamente ascendente infinita
de elementos de P. Equivalentemente, toda sequência fracamente ascendente
de elementos de P eventualmente estabiliza, o que significa que existe um inteiro positivo n tal que
Similarmente, diz-se que P satisfaz a condição de cadeia descendente (DCC) se não existe nenhuma cadeia estritamente descendente infinita de elementos de P. Equivalentemente, toda sequência fracamente descendente
de elementos de P eventualmente estabiliza.
Comentários Assumindo o axioma da escolha dependente, a condição de cadeia descendente em um poset P (possivelmente infinito) é equivalente a P ser bem-fundado: todo subconjunto não vazio de P tem um elemento minimal (também chamado de condição minimal). Um conjunto totalmente ordenado que é bem-fundado é um conjunto bem-ordenado. Similarmente, a condição de cadeia ascendente é equivalente a P ser bem-fundado em sentido inverso (novamente, assumindo a escolha dependente): todo subconjunto não vazio de P tem um elemento maximal (a condição maximal). Todo poset finito satisfaz tanto a condição de cadeia ascendente quanto a descendente e, portanto, é tanto bem-fundado quanto bem-fundado em sentido inverso.
Exemplo Considere o anel
dos inteiros. Cada ideal de consiste em todos os múltiplos de algum número . Por exemplo, o ideal
consiste em todos os múltiplos de . Seja
o ideal que consiste em todos os múltiplos de . O ideal está contido no ideal , pois todo múltiplo de também é múltiplo de . Por sua vez, o ideal está contido no ideal , pois todo múltiplo de é múltiplo de . No entanto, neste ponto não há ideal maior; "chegamos ao topo" em .
Em geral, se são ideais de tais que está contido em , está contido em , e assim por diante, então existe algum para o qual todos os . Isto é, após algum ponto todos os ideais são iguais entre si. Portanto, os ideais de satisfazem a condição de cadeia ascendente, onde os ideais são ordenados por inclusão de conjuntos. Logo, é um anel noetheriano.
Ver também Artiniano Condição de cadeia ascendente para ideais principais Dimensão de Krull Condição maximal sobre congruências Princípio da Escolha Dependente Noetheriano
Notas
Bibliografia
Ligações externas
Categoria:Álgebra comutativa Categoria:Teoria da ordem