Em matemática, um espaço topológico noetheriano, nomeado em homenagem a Emmy Noether, é um espaço topológico no qual os subconjuntos fechados satisfazem a condição de cadeia descendente. Equivalentemente, poderíamos dizer que os subconjuntos abertos satisfazem a condição de cadeia ascendente, uma vez que são os complementos dos subconjuntos fechados. A propriedade noetheriana de um espaço topológico também pode ser vista como uma forte condição de compacidade, a saber, que todo subconjunto aberto de tal espaço é compacto, e de fato é equivalente à afirmação aparentemente mais forte de que todo subconjunto é compacto.
Definição Um espaço topológico é chamado de noetheriano se satisfaz a condição de cadeia descendente para subconjuntos fechados: para qualquer sequência
de subconjuntos fechados de , existe um inteiro tal que
Propriedades Um espaço topológico é noetheriano se e somente se todo subespaço de é compacto (isto é, é hereditariamente compacto), e se e somente se todo subconjunto aberto de é compacto. Todo subespaço de um espaço noetheriano é noetheriano. A imagem contínua de um espaço noetheriano é noetheriana. Uma união finita de subespaços noetherianos de um espaço topológico é noetheriana. Todo espaço noetheriano de Hausdorff é finito com a topologia discreta. Prova: Todo subconjunto de X é compacto em um espaço noetheriano e todo subconjunto compacto é fechado em um espaço de Hausdorff; portanto, todos os subconjuntos de X são fechados e X tem a topologia discreta. Como X é discreto e compacto, deve ser finito. Todo espaço noetheriano X tem um número finito de componentes irredutíveis. Se as componentes irredutíveis são , então , e nenhuma das componentes está contida na união das outras componentes.
Da geometria algébrica
Muitos exemplos de espaços topológicos noetherianos vêm da geometria algébrica, onde, para a topologia de Zariski, um conjunto irredutível tem a propriedade intuitiva de que qualquer subconjunto fechado próprio tem dimensão menor. Como a dimensão só pode "descer" um número finito de vezes, e os conjuntos algébricos são compostos por uniões finitas de conjuntos irredutíveis, as cadeias descendentes de conjuntos fechados de Zariski devem eventualmente ser constantes.
Uma maneira mais algébrica de ver isso é que os ideais associados que definem conjuntos algébricos devem satisfazer a condição de cadeia ascendente. Isso decorre porque os anéis da geometria algébrica, no sentido clássico, são anéis noetherianos. Esta classe de exemplos, portanto, também explica o nome.
Se R é um anel comutativo noetheriano, então Spec(R), o espectro primo de R, é um espaço topológico noetheriano. Mais geralmente, um esquema noetheriano é um espaço topológico noetheriano. A recíproca não é válida, pois existem anéis não noetherianos com apenas um ideal primo, de modo que Spec(R) não é um esquema noetheriano, mas consiste em exatamente um ponto e, portanto, é um espaço noetheriano.
Exemplo O espaço (-espaço afim sobre um corpo ) sob a topologia de Zariski é um exemplo de espaço topológico noetheriano. Pelas propriedades do ideal de um subconjunto de , sabemos que se
é uma cadeia descendente de subconjuntos fechados de Zariski, então
é uma cadeia ascendente de ideais de Como é um anel noetheriano, existe um inteiro tal que
Como é o fecho de Y para todo Y, para todo Portanto
como requerido.
Referências
Ligações externas
Categoria:Geometria algébrica Categoria:Teoria dos esquemas