Поліноми Ерміта () — ортогональні поліноми, що використовуються в теорії ймовірностей, математичній фізиці при розв'язку рівняння дифузії, чисельному аналізі та квантовій механіці (як власні функції квантового гармонічного осцилятора). Названі на честь французького математика Шарля Ерміта, який ввів, передруковано також в їх в 1864 році.
Визначення
Поліномами Ерміта називається послідовність поліномів ,, що задовольняють співвідношенню: , з якого випливає . Таке означення здебільшого використовується в теорії ймовірностей. У фізиці (здебільшого в квантовій механіці) використовують наступне означення: . Зв'язок між «фізичними» та «ймовірнісними» поліномами Ерміта здійснюється через наступне рівняння:
. В цій статті будуть використовуватися «ймовірнісні» поліноми (якщо не зазначено інше).
Явні вирази перших одинадцяти поліномів Ерміта мають такий вигляд:
Загальний вираз для поліномів Ерміта має вигляд
Властивості Поліном містить члени лише тієї ж парності, що й саме число :
.
При мають місце такі співвідношення:
.
Рівняння має дійсних коренів, що є попарно симетричними відносно початку системи координат і модуль жодного з них не перевищує величини . Корені полінома чергуються з коренями полінома .
Поліном можна представити у вигляді визначника матриці :
Формула додавання Має місце наступна формула додавання поліномів Ерміта:
Частковими випадками такої формули є такі:
, . Тоді
.
, , . Тоді
.
Диференціювання та рекурентні співвідношення Похідна -го порядку від полінома Ерміта , також є поліномом Ерміта:
звідки випливає співвідошення для першої похідної
та рекурентне співвідношення між трьома послідовними поліномами:
Ортогональність Поліноми Ерміта утворюють повну ортогональну систему на інтервалі з вагою : ,
де — дельта-символ Кронекера.
Важливим наслідком ортогональності поліномів Ерміта є можливість розкладу різних функцій в ряди по поліномах Ерміта. Для будь-якого невід'ємного цілого справедливий запис
З нього випливає зв'язок між коефіцієнтами розкладу функції в ряд Маклорена та коефіцієнтами розкладу цієї ж функції по поліномах Ерміта, , що носять назву співвідношень Нільса Нільсона:
Наприклад, розклад функції Куммера матиме такий вигляд:
де — узагальнена гіпергеометрична функція другого порядку, — гамма-функція.
Розклад функцій, що містять експоненту.
Для будь-якої функції, що записується як суперпозиція експонент
можна записати наступний розклад по поліномах Ерміта:
Зокрема розклади відомих гіперболічних та тригонометричних функцій мають вигляд
Повнота
Формула Кристоффеля-Дарбу для поліномів Ерміта має вигляд
Більш того, наступна формула справджується і для узагальнений функцій
де δ — дельта-функція Дірака, (ψn) функції Ерміта. Ця узагальнена формула слідує якщо покласти u → 1 у формулі Мелера, дійсній при −1 < u < 1:
яку можна еквівалентно записати так
Функція (x, y) → E(x, y; u) є густиною для міри Гауса на R2 яка є, коли u прямує до 1, дуже сконцентрованою біля лінії y = x, і сильно спадає поза нею. Тому
коли ƒ, g є неперервними функціями на компактному носії. Це приводить до того, що ƒ може бути виражена через функції Ерміта у вигляді суми ряду векторів з L2(R), тобто
Щоб довести вищенаведену рівність для E(x, y; u), треба декілька разів використати Фур'є перетворення функції Гауса,
Поліноми Ерміта можуть бути представлення у вигляді
З цим представленням для Hn(x) і Hn(y), можна бачити що
а це приводить до потрібного результату, якщо скористатися формулою перетворення Фур'є Гаусового ядра після виконання підстановки
Диференціальні рівняння Поліноми Ерміта є розв'язками лінійного диференціального рівняння:
Якщо є цілим числом, то загальний розв'язок вищенаведеного рівняння записується як
,
де — довільні сталі, а функції називаються функціями Ерміта другого роду. Ці функції не зводяться до поліномів і їх можна виразити лише за допомогою трансцендентних функцій та .
Представлення Поліноми Ерміта допускають такі представлення:
де — контур, що охоплює початок координат.
Інше представлення має вигляд:
.
Зв'язок з іншими спеціальними функціями Зв'язок з функцією Куммера:
Зв'язок з поліномами Лаґерра:
Твірна функція поліномів Ерміта має вигляд: Для цієї функції Диференціювання разів по для лівої частини дає а праворуч Вважаючи оскільки Таким чином, -диференціювання по експоненційної функції приводить до поліномів Ерміта Рекурентне співвідношення. Продиференціюймо по
та отримаймо
Із сказаного можна отримати диференціальне рівняння
яке є частковим рішенням лінійного диференціального рівняння другого порядку
Застосування В квантовій механіці поліноми Ерміта входять до виразу хвильової функції квантового гармонічного осцилятора. В безрозмірнісних змінних рівняння Шредінгера, яке описує стани квантового гармонічного осцилятора, має вигляд:
.
Розв'язками цього рівняння є власні функції осцилятора, що відповідають власним значенням . Нормовані на одиницю вони записуються як .
Зазначимо, що в даному виразі використовуються саме «фізичні» поліноми Ерміта .
Поліноми Ерміта використовуються в розв'язку одновимірного рівняння теплопровідності на нескінченному інтервалі. Це рівняння має розв'язок у вигляді експоненційної функції . Оскільки таку функцію можна представити у вигляді розкладу по поліномах Ерміта, а з іншого боку вона може бути розкладена в ряд Тейлора по :
,
то функції , що є розв'язками рівняння теплопровідності і задовольняють початковій умові , виражаються через поліноми Ерміта наступним чином:
.
Для отримання останньої рівності було використано інтеграл Пуасона-Фур'є.
В теорії ймовірностей поліноми Ерміта входять до так званих рядів Еджворта, які використовуються для наближення функції густини ймовірності через її кумулянти.
Примітки
Джерела
Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4.
Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews