σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множин, замкнена щодо операції зліченого об'єднання. Поняття сигма-алгебри має важливе значення для визначення мір множин, в математичному аналізі та теорії ймовірностей.
Визначення
Кільцем множин називається система множин, замкнена стосовно операцій об'єднання, перетину, віднімання та симетричної різниці. Довільне кільце множин містить і порожню множину.
Одиницею кільця множин називається множина E, що належить до і для довільної множини виконується: .
σ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин містить також їх об'єднання .
δ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин містить також їх перетин: .
Таким чином, σ-алгеброю множин називається σ-кільце множин з одиницею, а δ-алгеброю множин — δ-кільце з одиницею. Однак, кожна σ-алгебра є також δ-алгеброю, і навпаки.
Властивості
Для довільної непорожньої системи множин існує неприводима (по відношенню до цієї системи) σ-алгебра , що містить і міститься в довільній σ-алгебрі, що містить .
Така σ-алгебра називається мінімальною.
Приклади Найпростішим прикладом σ-алгебри є система всіх підмножин деякої множини A.
Борелівські множини (або В-множини) це множини на числовій прямій, що належать мінімальній σ-алгебрі над сукупністю всіх сегментів .
Прості приклади на основі множин Нехай X - довільна множина. Сімейство множин що складається лише з порожньої множини і множини X, називається мінімальною, або тривіальною σ-алгеброю над X. Булеан X, називають дискретною σ-алгеброю.
Література
Див. також
Алгебра (теорія множин) Міра множини Фільтрація (випадкові процеси)