Функція Ліувілля — арифметична функція, що широко застосовується в теорії чисел. Названа на честь французького математика Жозефа Ліувілля. Для позначення функції переважно використовується λ(n).

Для додатного n функція Ліувілля визначається:

де Ω(n) — кількість простих дільників числа n, разом з мультиплікативністю. Тобто якщо то:

Перші значення функції рівні 1, −1, −1, 1, −1, 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1, … (.)

Властивості

Функція Ліувілля є цілком мультиплікативною, тобто

де сума береться по всіх дільниках числа n. Для доведення позначимо Тоді оскільки функція  — мультиплікативна, то мультиплікативною є і функція g(n). Якщо  — степінь простого числа, то

Тобто для цього випадку якщо степінь є парним, то значення функції рівне 0, непарним — 1. Якщо тепер то, враховуючи мультиплікативність, Якщо хоча б одне з чисел є непарним, то і також Число n в такому випадку не може бути квадратом. Якщо ж усі є парними, то одночасно і n є квадратом.

де  — обернена Діріхле функції а  — функція Мебіуса. Ряд Діріхле функції Ліувілля пов'язаний з Дзета-функцією Рімана формулою

Гіпотези

Гіпотеза Пойа зроблена угорським математиком Дьордьом Пойа в 1919 роціPolya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31—40.. Визначивши

гіпотеза стверджує, що для n > 1. Гіпотеза, проте, не є вірною. Найменший контрприклад n = 906150257, знайшов японський математик Мінору Танака в 1980 роціM. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, 187–189, (1980).. Згодом було доведено, що L(n) > 0.0618672√n для нескінченної кількості n,P. Borwein, R. Ferguson, and M. J. Mossinghoff, Sign Changes in Sums of the Liouville Function, Mathematics of Computation 77 (2008), no. 263, 1681–1694. і також L(n) < -1.3892783√n для нескінченної кількості n. Визначимо також суму

Існувала також гіпотеза, що T(n) ≥ 0 для достатньо великих n ≥ n0. Гіпотеза була спростована англійським математиком Браяном Гаселґровом у 1958 роціHaselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141–145. Підтвердження цієї гіпотези привело б до доведення гіпотези Рімана.

Примітки

Посилання

Література

Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3