В математиці, функтор Ext є похідним функтором функтора Hom. Разом із функтором Tor, Ext є одним із головних понять гомологічної алгебри. За допомогою цього функтора можна дати означення когомології груп, когомології алгебр Лі і когомології Хохшильда.

У випадку абелевих груп, Ext був введений Рейнхольдом Бером у 1934 році. Термін Ext був запропонований у 1942 році Ейленбергом і МакЛейном, які застосували це поняття у топології. Для модулів над довільним кільцем, означення функтора Ext було дане Картаном і Ейленбергом у 1956 році в книзі Homological Algebra.Weibel (1999); Cartan & Eilenberg (1956), section VI.1.

Означення Нехай R — кільце і R-Mod позначає категорію модулів над R. (Для некомутативних кілець це може бути категорія лівих R-модулів чи правих R-модулів.) Для деякого R-модуля A, позначимо T(B) = HomR(A, B) де B належить категорії R-Mod. Цей функтор є точним зліва функтором із категорії R-Mod у категорію абелевих груп Ab, і тому для нього існує правий похідний функтор RiT. Групами Ext є абелеві групи за означенням рівні

для цілих чисел i.

Більш детально, нехай маємо деяку ін'єктивну резольвенту:

Відкинемо в ній елемент B, і утворимо коланцюговий комплекс:

Для кожного цілого числа i, ExtiR(A, B) є когомологією цього комплексу по порядку i. Для від'ємних i когомологія вважається рівною нулю. Наприклад, Ext0R(A, B) є ядром відображення HomR(A, I0) → HomR(A, I1), яке є ізоморфним HomR(A, B).

Еквівалентне означення використовує функтор G(A)=HomR(A, B), для деякого R-модуля B. У даному випадку маємо контраваріантний функтор, який можна розглядати як точний зліва функтор із оберненої категорії (R-Mod)op у категорію Ab. Групи Ext за означеннями є похідними функторами RiG:

В цьому випадку спершу вводиться проєктивна резольвента

Після вилучення A і утворення коланцюгового комплекса:

можна означити ExtiR(A, B) як когомологію цього комплексу в позиції i.

Описані вище побудови не залежать від вибору проєктивної чи ін'єктивної резольвенти і у всіх випадках отримуються однакові групи.Weibel (1994), sections 2.4 і 2.5 і Theorem 2.7.6.

Для комутативного кільця R і R-модулів A і B, ExtiR(A, B) є R-модулем (використовуючи те, що HomR(A, B) є R-модулем у цьому випадку). Для некомутативного кільця R, ExtiR(A, B) є загалом лише абелевою групою. Якщо R є алгеброю над кільцем S (що, зокрема, означає, що S є комутативним кільцем), тоді ExtiR(A, B) є принаймні S-модулем.

Властивості Ext

Ext0R(A, B) ≅ HomR(A, B).

Ext(A, B) = 0 для всіх i > 0 якщо R-модуль A є проєктивним (наприклад, вільним) або якщо B є ін'єктивним.

виконуються і обернені твердження: Якщо Ext(A, B) = 0 для всіх B, тоді A є проєктивним (і тому Ext(A, B) = 0 для всіх i > 0). Якщо Ext(A, B) = 0 для всіх A, тоді B є ін'єктивним (і тому Ext(A, B) = 0 для всіх i > 0).

для всіх i ≥ 2 і всіх абелевих груп A і B.Weibeil (1994), Lemma 3.3.1.

Якщо R є комутативним кільцем і елемент u не є дільником нуля, тоді

для кожного R-модуля B. Тут B[u] позначає підгрупу у B, задану як {x ∈ B: ux = 0}. Якщо R є кільцем цілих чисел за допомогою цих обчислень можна порахувати для будь-якої скінченнопородженої абелевої групи A.

Згідно загальних властивостей похідних функторів, для Ext існують дві основні довгі точні послідовності.Weibel (1994), означення 2.1.1. Спершу, коротка точна послідовність 0 → K → L → M → 0 R-модулів породжує довгу точну послідовність виду

для будь-якого R-модуля A. Також, коротка точна послідовність 0 → K → L → M → 0 породжує довгу точну послідовність

для будь-якого R-модуля B.

Ext відображає прямі суми (можливо нескінченні) по першій змінній і прямі добутки по другій змінній у прямі добутки.Weibel (1994), Proposition 3.3.4. Тобто,

Нехай A скінченнопороджений модуль над комутативним нетеровим кільцем R. Тоді Ext комутує із операцією локалізації, тобто для кожної мультиплікативно замкнутої множини S у R, довільного R-модуля B і цілого числа i,Weibel (1994), Lemma 3.3.8.

Ext і розширення

Еквівалентність розширень

Назва Ext походить від зв'язку із розширеннями модулів. Для R-модулів A і B, розширенням A за допомогою B називається коротка точна послідовність R-модулів

Два розширення

називаються еквівалентними (як розширення A за допомогою B) якщо існує комутативна діаграма

Середня стрілка при цьому є ізоморфізмом. Розширення A за допомогою B розщеплюється якщо воно є еквівалентним тривіальному розширенню

Існує бієкція між класами еквівалентності розширень A за допомогою B і елементами Ext0R(A, B).Weibel (1994), Theorem 3.4.3. При цій бієкції тривіальні розширення відповідають нульовим елементам груп Ext1R(A, B).

Суми Бера розширень Сума Бера є описом абелевої структури Ext1R(A, B), якщо її розглядати як клас еквівалентності розширення A за допомогою B.Weibel (1994), Corollary 3.4.5. А саме, для двох розширень

і

спершу розглядається розшарований добуток над ,

Тоді можна взяти фактор-модуль

Сумою Бера E і E′ є розширення

де першим відображенням є а другим .

Сума Бера є визначеною з точністю до еквівалентності, комутативною і нейтральним елементом є тривіальне розширення. Оберненим розширенням до розширення 0 → B → E → A → 0 є розширення із тим самим модулем E але із заміною гомоморфізму E → A на від'ємний.

Побудова Ext для абелевих категорій Нобуо Йонеда ввів абелеві групи Ext(A, B) для об'єктів A і B в довільній абелевій категорії C; його означення узгоджується із означення в термінах резольвент якщо C має достатньо проєктивних чи ін'єктивних об'єктів. Спершу, Ext0R(A,B) = HomC(A, B). Далі, Ext(A, B) є множиною класів еквівалентності розширення A за допомогою B, що є абелевою групою відносно суми Бера. Нарешті, групи Ext вищих порядків Ext(A, B) за означенням є класами еквівалентності n-розширень, тобто точними послідовностями

згідно відношення еквівалентності породженого рівностями між розширеннями виду

якщо існують відображення Xm → X′m для всіх m із {1, 2, ..., n} такі, що всі відповідні квадрати комутують, тобто якщо існує ланцюгове відображення ξ → ξ', що є рівним одиничному на A і B.

Сума Бера таких двох n-розширень утворюються введенням як розшарованого добутку і над A, і як розшарованого кодобутку і під B.Weibel (1994), Vists 3.4.6. Some minor corrections is in errata. Тоді сума Бера розширень є рівною

Важливі окремі випадки

Когомологія груп є рівною , де G є групою, M є представлення G над цілими числами, і є груповим кільцем G.

Для алгебри A над кільцем k і A-бімодуля M, когомологія Хохшильда є рівною

Когомологія алгебр Лі є рівною , де є алгеброю Лі над комутативним кільцем k, M є -модуль, і є універсальною обгортуючою алгеброю.

Для топологічного простору X, когомологія пучків є рівною Тут Ext розглядається у абелевій категорії пучків абелевих груп на X, і є пучком локально сталих функцій із значенням у (із дискретною топологією).

Для локального кільця Нетер R із полем лишків k, має структуру кокомутативної градуйованої алгебри Гопфа над k. Коли характеристика k є рівною 0, то ця алгебра є універсальною обгортуючою алгеброю когомології Андре — Квіллена D*(k/R,k) (що є градуйованою алгеброю Лі).Quillen (1970), section 7.

Див. також

Похідний функтор Функтор Hom

Примітки

Література