У математиці, функтор Tor є похідним функтором тензорного добутку модулів над кільцем. Разом із функтором Ext, функтор Tor є одним із основних понять гомологічної алгебри.

У випадку абелевих груп, Tor був введений Едуардом Чехом у 1935 році. Сучасну назву функтора дав Самуель Ейленберг у 1950.Weibel (1999). Для модулів над довільним кільцем, означення Tor вперше дали Картан і Ейленберг у книзі Homological Algebra.Cartan & Eilenberg (1956), section VI.1.

Означення Нехай R — кільце. Позначимо R-Mod категорію лівих R-модулів і Mod-R — категорію правих R-модулів. (Якщо R є комутативним, дві категорії можна ідентифікувати.) Для деякого лівого R-модуля B, позначимо T(A) = A ⊗R B для модуля A з категорії Mod-R. T є правим точним функтором із Mod-R у категорію абелевих груп Ab, і тому для нього існує лівий похідний функтор LiT. Групи Tor є абелевими групами заданими як:

для цілого числа i. Більш детально: для довільної проективної резольвенти

відкинувши елемент A можна одержати ланцюговий комплекс:

Для кожного цілого числа i, TorRi(A, B) є гомологією цього комплекса на позиції i. Для від'ємного i група вважається рівною тривіальній. Наприклад, TorR0(A, B) є коядром відображення P1 ⊗R B → P0 ⊗R B, яке є ізоморфним A ⊗R B.

Еквівалентно, можна дати означення Tor зафіксувавши A і взявши ліві похідні функтори правого точного функтора G(B) = A ⊗R B. У цьому випадку береться тензорний добуток A із проективною резольвентою B і тоді гомологічні групи, як і вище. Всі ці побудови є незалежними від вибору конкретних проективних резольвент і дають в результаті однакові групи.Weibel (1994), section 2.4 і Theorem 2.7.2.

Загалом, для некомутативного кільця R, TorRi(A, B) є лише абелевою групою. якщо R є алгеброю над кільцем S (що означає, зокрема, що S є комутативним), тоді TorRi(A, B) є S-модулем. Якщо R є комутативним то TorRi(A, B) є R-модулем (використовуючи факт, що A ⊗R B теж є R-модулем у цьому випадку).

Властивості Нижче подані основні властивості і обчислення для груп Tor.Weibel (1994), Chapters 2 і 3.

TorR0(A, B) ≅ A ⊗R B для будь-якого правого R-модуля A і лівого R-модуля B.

Tor(A, B) = 0 для всіх i > 0 якщо або A або B є плоским (наприклад, вільним) R-модулем. Tor можна обчислити використовуючи плоску резольвенту A або B; плоска резольвента є більш загальною ніж проективна (чи вільна) резольвента.Weibel (1994), Lemma 3.2.8.

Для попереднього твердження справедливими є обернені: Якщо Tor(A, B) = 0 для всіх B, тоді A є плоским (і тому Tor(A, B) = 0 для всіх i > 0). Якщо Tor(A, B) = 0 для всіх A, тоді B є плоским (і тому Tor(A, B) = 0 для всіх i > 0).

Згідно загальних властивостей похідних функторів, кожна коротка точна послідовність 0 → K → L → M → 0 правих R-модулів породжує довгу точну послідовність виду Weibel (1994), означення 2.1.1.

для будь-якого лівого R-модуля B. Аналогічна точна послідовність також є для Tor стосовно другої змінної.

Симетричність: для комутативного кільця R, існує природний ізоморфізм Tor(A, B) ≅ Tor(B, A).Weibel (1994), Remark in section 3.1. (Для комутативного R немає потреби розрізняти ліві і праві R-модулі.)

Якщо R є комутативним кільцем і елемент u не є дільником нуля, тоді для будь-якого R-модуля B маємо:

де

є підгрупою u-кручення у B. Цей факт пояснює назву Tor. Для цей результат можна використати для обчислення для будь-якої скінченнопородженої абелевої групи A.

для всіх i ≥ 2 оскільки кожна абелева група A має вільну резольвенту довжини 1, оскільки кожна підгрупа вільної абелевої групи є вільною абелевою групою.

Для будь-якого кільця R, Tor зберігає прямі суми (можливо нескінченні) і фільтровані кограниці.Weibel (1994), Corollary 2.6.17. Наприклад, по першій змінній це означає

Для комутативного кільця R, Tor комутує з операцією локалізації. Тобто для мультиплікативно замкнутої множини S у R, R-модулів A і B, і цілого числа i,Weibel (1994), Corollaries 2.6.12 і 3.2.10.

Важливі окремі випадки

Гомологія груп є рівною де G є групою, M є представленням G над цілими числами, і є груповим кільцем G.

Для алгебри A над кільцем R і A-бімодуля M, гомологія Хохшильда є рівною

Гомологія алгебр Лі є рівною де є алгеброю Лі над комутативним кільцем R, M є -модулем, і є універсальною обгортуючою алгеброю.

Для комутативного кільця R із гомоморфізмом на поле k, має структуру градуйовано-комутативної алгебри Гопфа над k. Якщо k має характеристику 0, вона є вільною градуйовано-комутативноо алгеброю на гомології Андре — Квіллена Quillen (1970), section 7.

Див. також

Плоский модуль Похідний функтор Функтор Ext

Примітки

Література