Валюація — узагальнення поняття міри, зазвичай визначається на опуклих множинах евклідового простору.
Визначення Нехай — клас усіх непорожніх компактних опуклих множин . Валюація на це функція така, що рівняння
виконується для будь-яких таких, що ,
Зауваження
Валюація називається неперервною, якщо вона неперервна відносно метрики Гаусдорфа. Валюація називається інваріантною відносно рухів, якщо для будь-якого руху φ і будь-якого виконується
Приклади
Середня поперечна міра
-а середня поперечна міра тіла визначається як середня -вимірна площа проєкцій на -вимірні площини.
Зокрема,
— об'єм , — пропорційна площі поверхні .
Валюація Дірака
Валюація Дірака точки визначається як
Властивості Теорема Гадвіґера: будь-яку неперервну валюацію, інваріантну відносно рухів, можна подати у вигляді лінійної комбінації поперечних мір. Будь-яка валюація на цілих багатогранниках, інваріантна відносно цілих зсувів і , виражається як лінійна комбінація коефіцієнтів многочлена Ергарта.Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202—208.
Література Семён Алескер. Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах . Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия» 25—31 июля, 2014 Ярославль
Примітки