Вкорочувальний потік — процес, що змінює гладку криву на площині переміщенням її точок перпендикулярно до кривої зі швидкістю, що дорівнює її кривині.
Вкорочувальний потік вивчається переважно як найпростіший приклад , зокрема дозволяє відпрацювати техніку для роботи з потоком Річчі і з потоком середньої кривини.
Рівняння Однопараметричне сімейство кривих є розв'язком вкорочувального потоку, якщо для будь-якого значення параметра маємо
де — кривина зі знаком кривої у точці і — одиничний вектор нормалі до кривої у точці .
Властивості
Якщо початкова крива проста і замкнута, вона залишається такою під впливом вкорочувального потоку. Для простої замкнутої кривої вкорочувальний потік визначено на максимальному інтервалі . При крива стягується в точку. Площа обмежена кривою зменшується зі сталою швидкістю.
Зокрема момент стягування в точку повністю визначений площею, обмеженою кривою: . Якщо початкова крива не є опуклою, її максимальне абсолютне значення кривини зменшується монотонно, доки вона стане опуклою. Для опуклої кривої ізопериметричне відношення зменшується, і перш ніж зникнути в точці сингулярності, крива прямує формою до колаGage, M. E. (1984), «Curve shortening makes convex curves circular», Inventiones Mathematicae 76 (2): 357—364, doi:10.1007/BF01388602. Дві прості гладкі замкнуті криві, що не перетинаються, залишаються неперетинними, поки одна з них не стягнеться в точку. Коло — єдина проста замкнута крива, яка зберігає свою форму в потоці. Деякі криві зі самоперетинами, а також криві нескінченної довжини, зберігають форму.
Застосування Вкорочувальний потік на сфері дає одне з доведень задачі Арнольда про існування хоча б чотирьох точок перегину в будь-якій гладкій кривій, яка розрізає сферу на рівновеликі дискиAngenent, Sigurd. «Inflection points, extatic points and curve shortening.» Hamiltonian systems with three or more degrees of freedom. Springer Netherlands, 1999. 3-10..
Примітки