Przestrzeń dyskretna – przestrzeń topologiczna z topologią określającą punkty zbioru jako niezależne. Przestrzeń charakteryzuje się brakiem ciagłości a pomiędzy poszczególnymi punktami nie można wyznaczyć linii ciagłej odzwierciedloniej przez przestrzeń określoną przez zbiór liczb rzeczywistych .

Definicje formalne Niech dany będzie dowolny niepusty zbiór Topologię dyskretną na definiuje się przyjmując, że dowolny podzbiór jest otwarty (a więc i domknięty). Wówczas zbiór wyposażony w topologię dyskretną nazywa się przestrzenią topologiczną dyskretną. Jednostajność dyskretną na definiuje się przyjmując, że każdy nadzbiór przekątnej jest otoczeniem. Zbiór wyposażony w jednostajność dyskretną nazywa się przestrzenią jednostajną dyskretną. Przestrzeń metryczną nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną, jeżeli metryka jest metryką dyskretną, tj.

dla dowolnych

Przestrzeń metryczną nazywa się jednostajnie dyskretną, jeśli istnieje takie, że dla dowolnych jest bądź Aby topologia takiej przestrzeni metrycznej była dyskretna, metryka nie musi być jednostajnie dyskretna: przykładem może być standardowa metryka liczb rzeczywistych na zbiorze

Własności Jednostajnością dyskretnej przestrzeni metrycznej jest jednostajność dyskretna, zaś topologią na dyskretnej przestrzeni jednostajnej jest topologia jednostajna. W ten sposób różne pojęcia przestrzeni dyskretnej są ze sobą zgodne.

Z drugiej strony topologia niedyskretnej przestrzeni jednostajnej lub metrycznej może być dyskretna; przykładem może być przestrzeń metryczna z metryką odziedziczoną z prostej rzeczywistej, która nie dyskretna; przestrzeń ta nie jest przestrzenią zupełną, nie jest więc dyskretna jako przestrzeń jednostajna – mimo to jest ona dyskretna jako przestrzeń topologiczna. O przestrzeni tej można więc powiedzieć, że jest dyskretna topologicznie, ale nie dyskretna jednostajnie, czy dyskretna metrycznie.

Twierdzenia Wymiar topologiczny przestrzeni dyskretnej wynosi 0. Przestrzeń topologiczna jest dyskretna otwarte są zbiory jednoelementowe Przestrzeń topologiczna jest dyskretna przestrzeń topologiczna nie zawiera żadnych punktów skupienia (tzn. każdy jego punkt jest izolowany). Zbiory jednoelementowe tworzą bazę topologii dyskretnej. Przestrzeń jednostajna jest dyskretna przekątna jest otoczeniem. Każda przestrzeń dyskretna spełnia wszystkie aksjomaty oddzielania (w szczególności jest ona przestrzenią Hausdorffa oraz przestrzenią normalną). Przestrzeń dyskretna jest zwarta przestrzeń jest skończona. Każda dyskretna przestrzeń jednostajna bądź metryczna jest zupełna. Każda dyskretna przestrzeń jednostajna lub metryczna jest całkowicie ograniczona przestrzeń jest skończona. Każda przestrzeń dyskretna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności; Przestrzeń dyskretna spełnia drugi aksjomat przeliczalności (jest Lindelöfa) przestrzeń jest przeliczalna. Każda przestrzeń o co najmniej dwóch punktach jest całkowicie niespójna. Każda niepusta przestrzeń dyskretna jest drugiej kategorii. Dowolne dwie równoliczne przestrzenie dyskretne są homeomorficzne. Przestrzeń skończona jest metryzowalna, jeśli jest dyskretnaW istocie jest to warunek konieczny i dostateczny.. Jeśli jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś jest przestrzenią topologiczną dyskretną, to jest równo pokryta przez (przekształcenie rzutowe jest żądanym pokryciem). Skończony iloczyn kartezjański przestrzeni dyskretnych wyposażony w topologię produktową jest przestrzenią dyskretną. Dowolne przekształcenie przestrzeni topologicznej dyskretnej w inną przestrzeń topologiczną jest ciągłe. Dowolne odwzorowanie przestrzeni jednostajnej dyskretnej w inną przestrzeń jednostajną jest jednostajnie ciągłe. Odwzorowanie przestrzeni topologicznej w przestrzeń dyskretną jest ciągłe jest lokalnie stałe w tym sensie, że każdy punkt ma otoczenie, na którym odwzorowanie to jest stałe.

Zobacz też przestrzeń antydyskretna

Przypisy

Linki zewnętrzne Discrete space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-16].

Kategoria:Własności przestrzeni topologicznych