Załamanie funkcji falowej

Załamanie funkcji falowej (także: kolaps funkcji falowej, redukcja wektora stanu) – pojęcie z mechaniki kwantowej odnoszące się do zmiany opisu układu po pomiarze. Przed pomiarem stan układu może być stanów odpowiadających różnym wynikom. Po uzyskaniu wyniku pomiaru przypisuje się układowi stan zgodny z tym wynikiem. W standardowym formalizmie kwantowym załamanie jest, obok unitarnej ewolucji zgodnej z równaniem Schrödingera, drugim sposobem aktualizacji stanu układu. Między pomiarami stan zmienia się ciągle i deterministycznie. W idealnym, niedegenerowanym pomiarze rzutowym stanem układu po pomiarze jest odpowiedni stan własny mierzonej obserwabli (mierzalnej wielkości fizycznej), czyli stan, w którym ma ona jedną, ściśle określoną wartość, odpowiadającą zaobserwowanemu wynikowi. Prawdopodobieństwa poszczególnych wyników określa reguła Borna.

Znaczenie tego pojęcia zależy od interpretacji mechaniki kwantowej. W części ujęć instrumentalnych i informacyjnych stan kwantowy traktuje się przede wszystkim jako narzędzie przewidywania wyników lub kodowania informacji o nich, a nie jako opis rzeczywistości istniejącej niezależnie od obserwatora. Załamanie oznacza wtedy aktualizację opisu układu i przypisywanych mu prawdopodobieństw. W modelach obiektywnego załamania redukcję stanu traktuje się jako rzeczywisty proces fizyczny, wymagający zmodyfikowanej dynamiki lub nowej teorii. Inne interpretacje realistyczne, w których stan kwantowy lub dodatkowe elementy teorii mają odpowiadać rzeczywistości niezależnej od obserwatora – między innymi teoria de Broglie’a-Bohma i interpretacja wielu światów – nie postulują fundamentalnego załamania. Spór o to, czy i jak dochodzi do rzeczywistego załamania, jest jedną z postaci problemu pomiaru. Dekoherencja tłumaczy, dlaczego układy makroskopowe szybko tracą obserwowalne interferencje i zaczynają wyglądać klasycznie, ale sama nie wybiera pojedynczego wyniku.

mały|Symulacja narastania obrazu w doświadczeniu dwuszczelinowym: pojedyncze zarejestrowane trafienia tworzą z czasem rozkład interferencyjny

Opis matematyczny

Jeżeli stan kwantowy zapisuje się jako superpozycję stanów własnych pewnej obserwabli o widmie dyskretnym, na przykład składowej spinu,

to pomiar tej obserwabli daje wynik odpowiadający jednemu ze stanów Współczynniki rozwinięcia są amplitudami prawdopodobieństwa a dla stanu znormalizowanego spełniają warunek W schematycznym zapisie załamanie polega na zastąpieniu stanu wyjściowego jednym składnikiem superpozycji:

Dla obserwabli o widmie ciągłym, takich jak położenie czy pęd swobodnej cząstki, powyższą sumę zastępuje całka, a stany własne wymagają normalizacji w sensie delty Diraca. Jest to najprostszy zapis dla idealnego pomiaru obserwabli niedegenerowanej, czyli takiej, której każdej wartości własnej odpowiada dokładnie jeden stan własny. W ogólniejszym ujęciu wynik pomiaru odpowiada rzutowaniu stanu na podprzestrzeń związaną z daną wartością własną, a jeszcze ogólniejszy opis używa operatorów pomiarowych, opisujących także pomiary nieidealne lub uogólnione. Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku określa reguła Borna: dla stanu znormalizowanego jest ono równe a suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych wyników wynosi jeden. W idealnym, powtarzalnym pomiarze rzutowym natychmiastowe powtórzenie tego samego pomiaru daje ten sam wynik, o ile między pomiarami nie zaszła inna istotna ewolucja układu.

mały|Sekwencyjne pomiary Sterna-Gerlacha. Pomiar składowej spinu przygotowuje stan zgodny z uzyskanym wynikiem; ponowny pomiar w tej samej osi powtarza wynik, natomiast pomiar w innej osi może ponownie dać różne rezultaty Powyższy zapis dotyczy przypadku szczególnego: idealnego (rzutowego), niedegenerowanego pomiaru układu w stanie czystym. W ujęciu ogólniejszym stan opisuje się macierzą gęstości a prawdopodobieństwo wyniku pomiaru rzutowego z operatorami rzutowymi oraz stan po pomiarze określa reguła Lüdersa:

Gdy mierzona wartość własna jest zdegenerowana, stan rzutuje się na całą odpowiadającą jej podprzestrzeń, a nie na pojedynczy wektor własny. Szerszy opis pomiarów uogólnionych wykorzystuje operatory pomiarowe spełniające warunek zupełności :

W tym języku standardowe załamanie stanu czystego jest szczególnym, rzutowym przypadkiem ogólnej reguły aktualizacji stanu.

Ten opis nie wynika sam z równania Schrödingera. Ewolucja zgodna z tym równaniem nie wybiera jednego składnika superpozycji, lecz prowadzi do dalszej superpozycji, także wtedy, gdy układ oddziałuje z aparatem pomiarowym. Dlatego w standardowym formalizmie postulat załamania jest regułą odrębną od ewolucji unitarnej, służącą do przypisania stanu po uzyskaniu konkretnego, klasycznie określonego wyniku pomiaru.

Terminologia

W literaturze spotyka się kilka bliskich nazw. „Redukcja wektora stanu” odnosi się do zapisu stanu jako wektora w przestrzeni Hilberta, a „załamanie funkcji falowej” do funkcyjnej reprezentacji stanu, w tym kontekście zwykle położeniowej, w której stan przedstawia się jako funkcję falową. W praktyce oba określenia bywają używane wymiennie, choć „funkcja falowa” jest tylko jedną z reprezentacji ogólniejszego stanu kwantowego.

Określenie „redukcja” jest bliższe tradycji von Neumanna i bywa wygodne wtedy, gdy mówi się o rzutowaniu stanu na podprzestrzeń odpowiadającą wynikowi pomiaru.

Problem pomiaru

Załamanie jest centralnym elementem problemu pomiaru, ponieważ wskazuje na napięcie między dwoma opisami tej samej sytuacji. Jeżeli układ mierzony i aparat pomiarowy traktuje się łącznie jako układ kwantowy, stan takiego układu powinien ewoluować unitarnie. Taka ewolucja nie wybiera jednak jednego wyniku, lecz prowadzi do splątania układu z aparatem i środowiskiem. Tymczasem w pojedynczym przebiegu rzeczywistego eksperymentu otrzymuje się jeden wynik: ślad na detektorze, wskazanie miernika albo konkretny zapis w pamięci aparatu.

Problem nie polega na niezdolności mechaniki kwantowej do wyznaczania statystyk – standardowy formalizm poprawnie przewiduje rozkłady wyników pomiarów. Trudność dotyczy raczej tego, czy przejściu od amplitud prawdopodobieństwa do jednego zaobserwowanego wyniku odpowiada realny proces fizyczny. Amplitudy te są liczbami zespolonymi, a kwadraty ich modułów wyznaczają prawdopodobieństwa poszczególnych wyników. Otwarte pozostaje też, czy postulat załamania opisuje proces fizyczny, czy tylko zmianę informacji przypisywanej przez obserwatora. W ujęciach informacyjnych teoria kwantowa bywa przedstawiana jako algorytm wyznaczania prawdopodobieństw zdarzeń, a nie jako opis rzeczywistości niezależnej od obserwatora.

Dodatkową trudnością jest nielokalny charakter aktualizacji opisu układu splątanego. Po uwzględnieniu wyniku pomiaru zmienia się stan warunkowy przypisywany układowi splątanemu, czyli stan określony przy założeniu, że otrzymano dany wynik – w tym stan jego przestrzennie odległych składników. Taka aktualizacja nie pozwala jednak sterować lokalnymi statystykami ani przesyłać informacji szybciej od światła. To, czy traktuje się ją jako proces fizyczny, czy jako aktualizację opisu, zależy od przyjętej interpretacji. Niezależnie od tego lokalne modele zmiennych ukrytych nie odtwarzają korelacji kwantowych, co potwierdzają eksperymentalne naruszenia nierówności Bella.

Dekoherencja

Dekoherencja kwantowa wyjaśnia, dlaczego układ oddziałujący ze środowiskiem bardzo szybko traci obserwowalne interferencje między składnikami superpozycji. W wyniku takiego oddziaływania zredukowana macierz gęstości układu staje się w wyróżnionej bazie w przybliżeniu diagonalna i daje statystyki podobne do klasycznej mieszaniny. Jeżeli początkowy łączny stan układu i środowiska jest czysty, to ich stan globalny pozostaje czysty, ale staje się splątany. Stan samego układu jest wówczas tzw. mieszaniną niewłaściwą – wynika ona ze splątania ze środowiskiem, a nie z klasycznej niewiedzy o rzeczywiście wybranym stanie. Szczególnie stabilne wobec oddziaływania ze środowiskiem są tzw. stany wskaźnikowe ().

Program badawczy dekoherencji zapoczątkował w 1970 roku niemiecki fizyk . Mechanizm ten, nazywany wywołanym przez środowisko (), rozwinął od 1981 roku polski fizyk Wojciech Żurek. Rozwinięciem idei nadwyboru jest darwinizm kwantowy, tłumaczący wyłanianie się klasycznych, obiektywnych własności wskutek powielania informacji o układzie w otoczeniu.

Dekoherencja nie jest jednak samodzielnym rozwiązaniem problemu pojedynczego wyniku pomiaru. Cały układ złożony z obiektu, aparatu i środowiska nadal ewoluuje unitarnie, a w opisie globalnym wszystkie składniki superpozycji pozostają obecne. Dlatego dekoherencja dobrze tłumaczy pojawienie się klasycznie wyglądających statystyk i praktyczną nieodwracalność pomiaru, ale sama nie wybiera jednego wyniku.

Interpretacje

W tradycyjnym ujęciu kopenhaskim załamanie jest częścią reguł łączących formalizm kwantowy z opisem wyników pomiarowych. Nie zawsze interpretuje się je jako proces mechaniczny zachodzący w przestrzeni i czasie. Często traktuje się je jako praktyczny postulat pomiarowy.

Interpretacje zmiennych ukrytych, takie jak teoria de Broglie’a-Bohma, próbują wyjaśnić jednoznaczność wyników przez dodatkowe zmienne opisujące układ. Tego typu modele muszą być nielokalne, jeśli mają odtwarzać przewidywania mechaniki kwantowej zgodne z testami nierówności Bella.

W części interpretacji bez obiektywnego załamania, zwłaszcza w ujęciach everettowskich, zachowuje się unitarną ewolucję także podczas pomiaru, a istotną rolę odgrywa splątanie układu z aparatem i środowiskiem. Interpretacja wielu światów nie zakłada fundamentalnego załamania – globalny stan nadal ewoluuje unitarnie, a jego składniki wskutek dekoherencji zachowują się jak efektywnie niezależne gałęzie odpowiadające różnym wynikom pomiaru. Podejścia oparte na spójnych historiach również nie wprowadzają fundamentalnej redukcji stanu, lecz przypisują prawdopodobieństwa spójnym rodzinom alternatywnych historii układu.

Modele obiektywnego załamania zakładają natomiast, że standardowe równanie Schrödingera jest tylko przybliżeniem i wymaga uzupełnienia o spontaniczną, losową redukcję stanu. Przykładem jest model GRW (skrót od nazwisk twórców), zaproponowany przez , Alberta Riminiego i Tullia Webera, w którym załamania są rzadkie dla pojedynczych cząstek, ale skuteczne dla układów makroskopowych. Autorzy przyjęli częstość spontanicznej lokalizacji pojedynczej cząstki rzędu 10−16 s−1 oraz charakterystyczną długość lokalizacji funkcji falowej, rzędu 10−5 cm. Dla obiektu złożonego z cząstek częstość załamań rośnie proporcjonalnie do Właśnie dlatego dla pojedynczej cząstki spontaniczna lokalizacja jest skrajnie rzadka, a w ciele makroskopowym załamania zachodzą z bardzo dużą częstością.

Ciągłym odpowiednikiem GRW jest model ciągłej spontanicznej lokalizacji (CSL). W 1989 roku przedstawił ciągły stochastyczny model redukcji stanu, a kanoniczny model ciągłej spontanicznej lokalizacji sformułowali w 1990 roku Giancarlo Ghirardi, Philip Pearle i Alberto Rimini. W CSL skokowe załamania modelu GRW zastępuje się ciągłą ewolucją stochastyczną.

Do tej rodziny zalicza się także model Diósiego-Penrose’a, wiążący redukcję stanu z grawitacją. Podobny mechanizm zaproponował najpierw Lajos Diósi w latach 1984–1989. Niezależnie od niego zbliżoną koncepcję przedstawił w 1996 roku Roger Penrose.