mały|Para równoległych prostych oraz para równoległych płaszczyzn. Oprócz tego proste te są równoległe do tych płaszczyzn mały|Tory kolejowe są budowane z równoległych szyn

Równoległość – w matematyce jest to wspólna nazwa powiązanych relacji między figurami geometrycznymi jak: proste i ich części, np. półproste i odcinki; linie krzywe [dostęp 2025-04-26]. Parallel lines , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].; płaszczyzny i ich części, np. figury płaskie; inne powierzchnie Parallel surfaces , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].; figury w wyższych wymiarachOgólniej podprzestrzenie o wymiarze co najwyżej w przestrzeni -wymiarowej.; wektory [dostęp 2025-04-26]..

Oprócz tego równoległość ma znaczenia mniej matematyczne, bliższe zjawiskom fizycznym – równoległe procesy są przynajmniej częściowo jednoczesne.

Definicje mały|260px|Wektory u i v są nazywane równoległymi, bo ich odpowiednie proste d i d′ są równoległe

Równoległość bywa utożsamiana z rozłącznością – nieprzecinaniem się – dla: prostych na płaszczyźnie; płaszczyzn w przestrzeni trójwymiarowej; prostej i płaszczyzny [dostęp 2025-04-26]..

Przy szerszych definicjach za równoległe uznaje się też: proste pokrywające się, inaczej tożsame Anna Rybak, Prostopadłość i równoległość na powierzchni kuli, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].; płaszczyzny pokrywające się Bogdan Staruch, Aksjomaty geometrii przestrzennej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].; prostą i płaszczyznę, na której ona leży Tomasz Wójtowicz, Prosta równoległa do płaszczyzny, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26]..

Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.

Dla dwóch prostych w trójwymiarze równoległość to więcej niż rozłączność lub równość – ta pierwsza nie jest warunkiem wystarczającym równoległości. Dwie różne proste w trójwymiarze są nazywane równoległymi pod dodatkowym warunkiem, że są współpłaszczyznowe – przechodzi przez nie wspólna płaszczyzna Bogdan Staruch, Proste równoległe w przestrzeni, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26]. [dostęp 2025-04-26].. Proste rozłączne przez to, że nie mają wspólnej płaszczyzny, nazywa się skośnymi.

Równoległość dwóch wektorów w przestrzeni euklidesowej można definiować dwojako – przez: równoległość ich prostych; ich proporcjonalność wprost – to, że jeden wektor jest przeskalowaniem drugiego.

W pierwszym wypadku równoległość to relacja wyłącznie między wektorami niezerowymi, tj. różnymi od zerowego Sebastian Guz, Równoległość wektorów, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].. Oprócz tego w trójwymiarze definiuje się iloczyn wektorowy, a równoległość wektorów jest równoważna temu, że ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym [dostęp 2025-04-27].:

Istnieją także mniej ścisłe definicje, używane w słownikach języka polskiego – odwołują się do równości pewnych odległości między figurami lub przedmiotami.

Rola pojęcia

Za pomocą równoległości definiuje się inne pojęcia geometryczne, m.in. planimetrii i stereometrii: w geometrii płaskiej równoległością odcinków definiuje się m.in. trapezy i równoległoboki; w geometrii trójwymiarowej równoległość płaszczyzn i odcinków pojawia się w definicjach równoległościanów, bardziej ogólnych graniastosłupów oraz walców i powierzchni walcowych.

Oprócz tego równoległość jest też przedmiotem: podanego niżej postulatu Euklidesa i jego odmian; twierdzenia Talesa.

Geometria euklidesowa Aksjomaty mały

Postulat Euklidesa Jeżeli prosta (transwersalna) przecina proste tak, że kąty sobie odpowiadające są sobie różne, to proste przecinają się. O takich prostych mówi się, że są nierównoległe i oznacza się Proste, które nie są nierównoległe, nazywane są równoległymi i oznacza się

Szkocki matematyk John Playfair określił następujący aksjomat:

Aksjomat Playfaira

Przez dowolny punkt można przeprowadzić najwyżej jedną prostą rozłączną z zadaną prostą. O takiej prostej mówi się, że jest równoległa do zadanej prostej.

Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa.

Właściwości mały|Trzy płaszczyzny równoległe parami

Równoległość obiektów tego samego rodzaju – np. między prostymi lub między płaszczyznami – jest relacją równoważności Halszka Tutaj, Elementarna teoria mnogości, rozdział 7. Relacje równoważności, klasy abstrakcji, zbiór ilorazowy, Uniwersytet Jagielloński (UJ) [dostęp 2025-04-27]., tzn. jest: zwrotna: symetryczna: pociąga przechodnia: jeśli oraz to

Planimetria kartezjańska mały|Na niebiesko zaznaczono parę prostych równoległych na płaszczyźnie kartezjańskiej Warunki równoległości Proste zadane równaniami w postaci kierunkowej są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe Sebastian Guz, Warunek równoległości prostych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26]. Tomasz Wójtowicz, Równoległość wykresów funkcji liniowych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26]..

Dwie proste na płaszczyźnie kartezjańskiej są interpretacją graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Proste równoległe rozłączne odpowiadają układowi sprzecznemu, proste pokrywające się układowi nieoznaczonemu. Stąd dwie proste zadane równaniami ogólnymi

nie przecinają się lub pokrywają się, jeżeli wyznacznik (macierzy głównej) tego układu jest równy zeru Tomasz Wójtowicz, Równanie prostej równoległej do prostej..., Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].:

Podobnymi wzorami można sprawdzać równoległość wektorów płaskich Sebastian Guz, Wektory równoległe w układzie współrzędnych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-27]..

Odległość prostych równoległych Jest to odległość któregokolwiek punktu leżącego na jednej prostej od jego rzutu prostopadłego na drugą prostą.

Niech l || k. Wówczas i gdy Odległość punktu od prostej wyraża się wzorem:

Ponieważ to więc

Zatem wzór na odległość dwóch prostych równoległych ma postać Sebastian Guz, Odległość prostych równoległych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].:

Jeżeli przedstawimy dane proste w postaci kierunkowej:

to wzór przybierze postać:

Geometrie nieeuklidesowe

Równoległość jest pojęciem charakterystycznym dla geometrii euklidesowej (ogólniej – afinicznej).

W geometrii rzutowej (i geometrii eliptycznej) każde dwie różne proste mają dokładnie jeden punkt wspólny. Nie jest więc spełniony aksjomat Playfaira i nie jest możliwe zdefiniowanie pojęcia równoległości.

W geometrii hiperbolicznej także nie jest spełniony aksjomat Playfaira, tutaj przez dowolny punkt można przeprowadzić (co najmniej) dwie proste rozłączne z zadaną prostą. Można zdefiniować pojęcie równoległości dwóch prostych, odmienne jednak od równoległości definiowanej na płaszczyźnie euklidesowej – np. nie jest to relacja przechodnia.

Zobacz też

Przeniesienie równoległe obliczenia równoległe prostopadłość

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-04-23]. Parallel straight lines , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].

Kategoria:Dwuczłonowe relacje geometryczne Kategoria:Relacje równoważności