Zbiory rzutowe – podzbiory przestrzeni polskiej, które mogą być otrzymane ze zbiorów borelowskich przy użyciu skończenie wielu operacji ciągłych obrazów i dopełnienia.
Zbiory rzutowe były wprowadzone niezależnie w latach 20. XX wieku przez rosyjskiego matematyka Nikołaja ŁuzinaLusin, N.: Sur un problème de M. Emile Borel et les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue; les ensembles analytiques, „Comptes Rendus Acad. Sci. Paris” 180 (1925), 1318–1320.Lusin, N.: Sur les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue, „Comptes Rendus Acad. Sci. Paris” 180 (1925), 1572–1575.Lusin, N.: Les propriétés des ensembles projectifs, „Comptes Rendus Acad. Sci. Paris” 188 (1925), 1817–1819. i polskiego matematyka Wacława SierpińskiegoSierpiński, W.: Sur une classe d’ensembles, „Fundamenta Mathematicae” 7 (1925), 237–243..
Hierarchia zbiorów rzutowych Niech oznacza przestrzeń Baire’a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Przez indukcję po liczbach naturalnych dla każdej przestrzeni polskiej definiujemy klasy Łuzina i klasy dualne jest rodziną tych wszystkich podzbiorów przestrzeni że dla pewnego zbioru borelowskiego mamy jest rodziną tych podzbiorów przestrzeni że jest rodziną tych podzbiorów przestrzeni że dla pewnego mamy jest rodziną tych podzbiorów przestrzeni że
Definiujemy również
Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy (zamiast ). Elementy tych klas noszą wspólną nazwę zbiorów rzutowych.
Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości dla początkowych klas rzutowych używa się następującej terminologii: elementy klasy nazywane są zbiorami analitycznymi, a zbiory z są określane jako zbiory koanalityczne; czasami te klasy zbiorów oznacza się A i CA, klasy i oznaczane są też przez PCA i CPCA etc.
Przykładowe własności Poniżej przedstawiamy tylko parę przykładowych własności klas rzutowych. Teoria tych klas jest bardzo rozbudowana i zainteresowany czytelnik może bliżej zapoznać się z nią czytając np. monografię Yiannisa MoschovakisaMoschovakis, Yiannis N.: Descriptive set theory. „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics”, 100. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. . lub książkę Tomka Bartoszyńskiego i Haima JudahaBartoszyński, Tomek; Judah, Haim: Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ..
Niech będzie przestrzenią polską. Zachodzą następujące inkluzje (gdzie „” jest reprezentowane przez strzałkę „”):
jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni Każda klasa Łuzina jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje i podobnie dla klas dualnych Sierpiński, W.: Sur les produits des images continues des ensembles C(A), „Fundamenta Mathematicae” 11 (1928), 123–126.. Każda klasa jest σ-ciałem zbiorów. Jeśli jest przestrzenią polską, jest funkcją ciągłą oraz to Jeśli jest przestrzenią polską, jest funkcją ciągłą oraz to także Wszystkie zbiory z mają własność Baire’a. Wszystkie zbiory z są mierzalne w sensie miary Lebesgue’a. Jeśli założymy MA oraz ¬CH, to wówczas wszystkie zbiory z są mierzalne i mają własność Baire’a. Jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to (a) istnieje -dobre uporządkowanie prostej rzeczywistej, (b) istnieje -podzbiór prostej który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i który nie ma własności Baire’a, (c) istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego. Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’aSolovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. „Ann. of Math.” 92 (1970) 1–56.. Można zbudować pojęcie forsingu, które forsuje, że wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a, ale mierzalność wszystkich zbiorów klasy implikuje, że jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla)Shelah, Saharon: Can you take Solovay’s inaccessible away? „Israel J. Math.” 48 (1984), s. 1–47.. Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z są zdeterminowaneMartin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. „Fund. Math.” 66 (1969/1970), s. 287–291.. Przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych można wykazać, że gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowaneWoodin, W. Hugh: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. „Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.” 85 (1988), s. 6587–6591.Martin, Donald A., Steel, John R.: A proof of projective determinacy. „Journal of the American Mathematical Society” 2 (1989), s. 1, 71–125..
Zobacz też opisowa teoria mnogości teoria mnogości zbiór analityczny zbiór borelowski
Przypisy
Kategoria:Deskryptywna teoria mnogości