Ultraprodukt – pojęcie stosowane w matematycznej teorii modeli; jest to pewien matematyczny sposób budowania nowych modeli z danej rodziny modeli. Ultraprodukty są szeroko używane i badane w teorii modeli, teorii mnogości i algebrze. Szczególnym przypadkiem ultraproduktów są ultrapotęgi (w których używa się tylko jednego modelu wyjściowego).

Uwagi historyczne Niektórzy matematycy twierdzą, że już dowód Kurta Gödla twierdzenia o zupełności rachunku kwantyfikatorów (logiki pierwszego rzędu) z 1930 rokuGödel, K.: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. „Monatshefte f. Math”, 37 (1930), s. 349–360. można zinterpretować jako konstrukcję ultrapotęgiBell, J.L.; Slomson, A.B.: Models and ultraproducts: An introduction. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-London, 1969, s. 259.. Również konstrukcje rozważane przez Edwina Hewitta w 1948Hewitt, E.: Rings of real-valued continuous functions. I. Transactions of the American Mathematical Society 64 (1948), s. 45–99. w związku z ciałami rzeczywiście domkniętymi są uznawane za prekursorów ultraproduktów.

Pierwsza systematyczna i ogólna prezentacja ultraproduktów jako narzędzia w teorii modeli była dana przez polskiego matematyka Jerzego Łosia w roku 1955Łoś, J.: Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classes définissables d’algèbres. „Mathematical interpretation of formal systems”, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1955, s. 98–113..

Definicja Niech będzie alfabetem języka pierwszego rzędu, czyli zbiorem symboli funkcyjnych i predykatów (symboli relacyjnych). Interpretację symbolu relacyjnego w modelu będziemy oznaczać przez (tak więc jest relacją -arną na uniwersum modelu gdzie jest arnością symbolu relacyjnego ). Podobnie, jeśli jest -argumentowym symbolem funkcyjnym, to jego interpretacja w modelu będzie oznaczana przez (tak więc, jest funkcją z w ). Poniżej, każde użycie słowa model oznacza model języka pierwszego rzędu wyznaczonego przez alfabet

Załóżmy, że jest zbiorem nieskończonym oraz jest filtrem podzbiorów Przypuśćmy też, że dla każdego ustaliliśmy model z uniwersum

Definiujemy produkt zredukowany

rodziny modeli w sposób następujący. (a) Na produkcie kartezjańskim

określamy relację dwuczłonową warunkiem wtedy i tylko wtedy, gdy ( oraz) Relacja jest relacją równoważności. Niech będzie zbiorem klas abstrakcji relacji (b) Jeśli jest -arnym symbolem relacyjnym, to określamy jego interpretację następująco: wtedy i tylko wtedy, gdy ( oraz) Należy zauważyć, że jeśli są takie, że (dla ), to

Stąd wynika, że powyższa definicja relacji jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji. (c) Jeśli jest -arnym symbolem funkcyjnym, to określamy jego interpretację następująco: przypuśćmy, że Połóżmy dla (tak więc ). Określamy

Tak jak wcześniej, zauważamy, że jeśli są takie, że (dla ), to

a więc powyższa definicja funkcji jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji.

Produkt zredukowany

to model z uniwersum w którym interpretacje symboli z alfabetu dane są przez opis w (b) i (c).

Jeśli jest ultrafiltrem (tzn. maksymalnym filtrem właściwym), to model

jest nazywany ultraproduktem rodziny modeli

Jeśli jest ultrafiltrem oraz dla wszystkich (czyli wszystkie modele są identyczne), to model

jest nazywany ultrapotęgą modelu . W przypadku ultrapotęg modeli, często używamy notacji zamiast

Przykładowe wyniki i zastosowania Twierdzenie Łosia: Przypuśćmy, że jest alfabetem języka pierwszego rzędu, jest ultrafiltrem na zbiorze jest modelem języka (dla ) oraz jest formułą języka której zmienne wolne zawarte są wśród Niech Wówczas wtedy i tylko wtedy, gdy Założmy, że są jak powyżej, jest modelem języka Dla niech będzie funkcją stałą daną przez (dla ) oraz niech Wówczas funkcja jest zanurzeniem elementarnym modelu w jego ultrapotęgę tzn. jest funkcją różnowartościową oraz wtedy i tylko wtedy, gdy W szczególności, ultrapotęga jest elementarnie równoważna z (tzn. te same zdania są spełnione w jednym modelu co i w drugim). Z twierdzenia Łosia łatwo wnioskujemy, że: każdy ultraprodukt grup jest grupą, ultraprodukt ciał jest ciałem, ultraprodukt ciał uporządkowanych jest ciałem uporządkowanym, ultraprodukt algebr Boole’a jest algebrą Boole’a, ultraprodukt porządków częściowych jest porządkiem częściowym, ultraprodukt porządków liniowych jest porządkiem liniowym. Ultraprodukt nieskończonych dobrych porządków jest dobrym porządkiem wtedy i tylko wtedy, gdy użyty ultrafiltr jest -zupełny. (Przypomnijmy, że istnienie niegłównych -zupełnych ultrafiltrów na zbiorze nieskończonym jest równoważne z istnieniem liczby mierzalnej.) Ultrapotęgi uniwersum teorii mnogości V przy użyciu zupełnych ultrafiltrów są używane w badaniach dużych liczb kardynalnych. Ultrapotęgi są też używane do konstrukcji niestandardowych modeli arytmetyki Peana (PA) czy też modeli analizy niestandardowejRobinson, A.: Non-standard analysis. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. .. W tym ostatnim kontekście warto zacytować następujący wynik: Twierdzenie Rabina-KesleraRabin, M.O.: Arithmetical extensions with prescribed cardinality. „Indag. Math.” 21 (1959), s. 439–446.Keisler, H.J.: Limit ultrapowers. Transactions of the American Mathematical Society 107 (1963), s. 382–408.: Niech będzie przeliczalnym alfabetem. Załóżmy, że jest liczbą kardynalną, na której nie istnieją ultrafiltry σ-zupełne. Wówczas każdy model z uniwersum mocy κ ma właściwe elementarne rozszerzenie do modelu z uniwersum mocy κ wtedy i tylko wtedy, gdy

Charakteryzacja elementarnie równoważnych modeli Niech będzie przeliczalnym alfabetem. Poniżej, każde użycie słowa model oznacza model języka pierwszego rzędu wyznaczonego przez alfabet .

Twierdzenie Keislera o ultrapotęgachKeisler, H.J.: Ultraproducts and elementary classes. „Indag. Math.” 23 (1961), s. 477–495.: Załóżmy GCH. Niech będą modelami o uniwersach mocy co najwyżej Wówczas jest elementarnie równoważny z wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją ultrafiltry na takie że ultrapotęgi i są izomorficzne.

Twierdzenia SzelachaShelah, Every two elementarily equivalent models have isomorphic ultrapowers -- Israel J Math 10 (1971) 224-233.Shelah, S.: Vive la différence. I. Nonisomorphism of ultrapowers of countable models. [w:] Set theory of the continuum (Berkeley, CA, 1989), Math. Sci. Res. Inst. Publ., 26. Springer, New York, 1992, s. 357–405.: Niech będą modelami o uniwersach mocy co najwyżej Wówczas jest elementarnie równoważny z wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją ultrafiltry na takie że ultrapotęgi i są izomorficzne. W szczególności, dwa modele są elementarnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają izomorficzne ultrapotęgi.

Twierdzenia Keislera nie można udowodnić tylko w systemie ZFC, bez założenia GCH, bo następujące zdanie jest niesprzeczne z ZFC: Istnieją elementarnie równoważne przeliczalne grafy takie, że żadne ich ultrapotęgi nie są izomorficzne. Warto zauważyć, że dowód powyższego twierdzenia (w którym Shelah skonstruował odpowiednie pojęcie forsingu) okazał się być bardzo stymulujący dla późniejszego rozwoju teorii forsingu i teorii forsingów proper.

Przypisy

Kategoria:Teoria mnogości Kategoria:Teoria modeli