Інвалю́цыя (ад — «згінанне, згортванне») у матэматыцы — такое адлюстраванне некаторай сукупнасці ў сабе, што пры паўторным яго прымяненні кожны элемент вяртаецца на сваё месца. Іншымі словамі, гэта пераўтварэнне, якое пры паўторным прымяненні вяртае кожны аб'ект у зыходны стан.
Калі пераўтварэнне абазначыць праз , то гэта ўласцівасць запісваецца як
Інакш кажучы, спачатку пераводзіць элемент у некаторы элемент , а паўторнае прымяненне таго самага пераўтварэння вяртае . У матэматычнай форме гэта таксама запісваюць як
дзе — тоеснае пераўтварэнне. Таму інвалюцыя з'яўляецца адваротным пераўтварэннем да самой сябе.
Прыклады Просты геаметрычны прыклад інвалюцыі — восевая сіметрыя. Калі адлюстраваць пункт адносна зададзенай восі, а затым яшчэ раз выканаць тое самае адлюстраванне, пункт вернецца ў першапачатковае становішча.
Іншы прыклад — спалучэнне комплексных лікаў. Комплексны лік
пераходзіць у спалучаны з ім лік
Калі выканаць спалучэнне яшчэ раз, атрымаецца зыходны лік:
Напрыклад,
Інвалюцыя ў алгебры Паняцце інвалюцыі выкарыстоўваецца таксама для алгебр. Няхай — алгебра над полем рэчаісных або комплексных лікаў. Аперацыя
называецца інвалюцыяй алгебры, калі яна задавальняе наступныя ўмовы:
дзе , , а — комплексна спалучаны з лік.
Першая ўмова выражае асноўную ўласцівасць інвалюцыі: паўторнае прымяненне аперацыі вяртае зыходны элемент. Другая азначае, што інвалюцыя ўзгадняецца са складаннем. Трэцяя ўлічвае спалучэнне комплексных каэфіцыентаў, а чацвёртая паказвае, што пры інвалюцыі здабытку парадак множнікаў мяняецца на адваротны.
Для алгебры над рэчаіснымі лікамі трэцяя ўмова спрашчаецца да
бо для рэчаіснага ліку . Найпрасцейшы прыклад такой ідэі для комплексных лікаў — звычайнае спалучэнне .
Крыніцы
Літаратура
Катэгорыя:Функцыі Катэгорыя:Абстрактная алгебра