Вызначнік (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай матрыцы (мнагачлен ад зменных), якая раўняецца нулю, калі і толькі калі матрыца выраджаная. Вызначнік як функцыя ад слупкоў (радкоў) матрыцы валодае шэрагам адметных уласцівасцей, сярод якіх лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі).
Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, пры вылічэнні аб'ёмаў (плошчаў, мер), пры замене каардынат і г.д.
Строгае азначэнне Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы Няхай
Вызначнік -матрыцы − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны:
дзе складанне адбываецца па ўсіх перастаноўках мноства , − знак перастаноўкі , роўны +1, калі цотная, і роўны -1, калі няцотная.
Праз адметныя ўласцівасці Няхай
− матрыца, каэфіцыенты якой належаць колцу , у якім аперацыя множання перастаўляльная і спалучальная, і, акрамя таго, існуе адзінка.
Абазначым праз -ты слупок матрыцы :
Вызначнікам называецца функцыя ад матрыцы , якая прымае значэнні з колца і задавальняе наступныя ўмовы: Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы:
Вызначнік як функцыя ад слупкоў матрыцы лінейны па кожным сваім асобным аргуменце (слупку):
Вызначнік як функцыя ад слупкоў матрыцы косасіметрычны (г.зн. мяняе знак на процілеглы пры перастаноўцы двух суседніх слупкоў):
Уласцівасці Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:
Вызначнік здабытку матрыц раўняецца здабытку вызначнікаў гэтых матрыц:
Няхай ёсць скалярнай велічынёю, з'яўляецца квадратнай матрыцай парадку . Тады
Транспанаванне не змяняе велічыні вызначніка:
Няхай колца ёсць полем. Тады
Калі матрыца трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы: пры ; для ніжняй трохвугольнай матрыцы: пры ), то яе вызначнік роўны здабытку яе дыяганальных элементаў:
Вызначнікі малых парадкаў Для матрыцы першага парадку вызначнік роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы:
Для матрыцы вызначнік роўны
Для матрыцы вызначнік можна вылічыць праз вызначнікі меншых парадкаў з дапамогай зваротнага стасунку (вядомага як раскаданне па першым радку):
дзе — дадатковы мінор элемента
Заўвага: каб атрымаць дадатковы мінор элемента , трэба закрэсліць -ты радок і -ты слупок (на перасячэнні якіх знаходзіцца гэты элемент); тое, што застанецца, і будзе дадатковым мінорам.
Адсюль вынікае, што вызначнік матрыцы раўняецца:
Літаратура
Катэгорыя:Лінейная алгебра Катэгорыя:Алгебра Катэгорыя:Вызначнікі