Артаганальная група — група ўсіх лінейных пераўтварэнняў -мернай вектарнай прасторы над полем , якія захоўваюць фіксаваную невыраджаную квадратычную форму на (гэта значыць такіх лінейных пераўтварэнняў , што для любога ).
Абазначэнні і звязаныя вызначэнні
Элементы артаганальнай групы называюцца артаганальнымі (адносна ) пераўтварэннямі , а таксама аўтамарфізмамі формы (дакладней, аўтамарфізмамі прасторы адносна формы ). Абазначаецца , </sub>, і т. п. Калі квадратычная форма не абазначана відавочна, то маецца на ўвазе форма, якая задаецца сумай квадратаў каардынат, г. зн. якая выражаецца адзінкавай матрыцай. Над полем рэчаісных лікаў, артаганальная група незнакавызначай формы з сігнатурай ( плюсаў, мінусаў) дзе , абазначаецца O(,.
Уласцівасці
У выпадку, калі характарыстыка асноўнага поля больш за два, то з звязана невыраджаная сіметрычная білінейная форма на , якая выражаецца формулай
Тады артаганальная група складаецца ў дакладнасці з тых лінейных пераўтварэнняў прасторы , якія захоўваюць , і абазначаецца праз або (калі ясна аб якім полі і форме ідзе гаворка) проста праз .
Калі — матрыца формы ў нейкім базісе прасторы , то артаганальная група можа быць атаясамлена з групай ўсіх такіх матрыц з каэфіцыентамі ў , што
У прыватнасці, калі базіс такі, што з'яўляецца сумай квадратаў каардынат (гэта значыць, матрыца адзінкавая), то такія матрыцы называюцца артаганальнымі.
Над полем рэчаісных лікаў, група кампактная тады і толькі тады, калі форма знакавызначана.
Іншыя групы
Артаганальная група з'яўляецца падгрупай поўнай лінейнай групы GL(). Элементы артаганальнай групы, вызначнік якіх роўны 1 (гэта ўласцівасць не залежыць ад базісу), утвараюць падгрупу — спецыяльную артаганальную групу , якая абазначае гэтак жа як і артаганальную групу але з даданнем літары «S». , па пабудове, з'яўляецца таксама падгрупай спецыяльнай лінейнай групы .
Гл. таксама
Група Лі Тапалагічная група
Катэгорыя:Групы Лі