En mathématiques, la loi de réciprocité cubique fait référence à divers résultats reliant la résolubilité de deux équations cubiques reliées en arithmétique modulaire.
Notations
La loi de réciprocité cubique est plus naturellement exprimée en termes d'entiers d'Eisenstein, c’est-à-dire, l'anneau E des nombres complexes de la forme
où et sont des entiers relatifs et
est une racine cubique de l'unité complexe.
Si est un élément premier de E de norme P ≡ 1 (mod 3) et un élément premier avec , on définit le symbole résidu cubique comme étant la racine cubique de l'unité (puissance de ) satisfaisant
De plus, on dit qu'un entier d'Eisenstein est primaire s'il est congru à ±1 modulo 3.
Énoncé
Pour des nombres premiers primaires non associés et , la loi de réciprocité cubique est :
avec des lois supplémentaires pour les unités et pour l'élément premier de norme 3 qui, pour , sont :
Références
Articles connexes Loi de réciprocité quadratique Symbole de Legendre
Catégorie:Arithmétique modulaire