En matemáticas, máis concretamente en álxebra abstracta e teoría de aneis, un dominio euclidiano ou anel euclidiano (normalmente abreviado DE ) é un anel conmutativo no que se pode definir unha función euclidiana que permite xeneralizar a noción de división euclidiana habitual nos enteiros. Este algoritmo euclidiano xeneralizado pode usarse para os mesmos propósitos que o algoritmo euclidiano orixinal sobre o anel de enteiros: nun dominio euclidiano este algoritmo pódese usar para calcular o máximo común divisor de dous elementos calquera. En particular, o máximo común divisor de dous elementos sempre existe -o que xeralmente non é certo para un anel arbitrario- e pódese expresar como unha combinación linear deles (identidade de Bezout). Ademais, todo ideal dun dominio euclidiano é principal, o que implica que o teorema fundamental da aritmética pode ser xeneralizado: cada dominio euclidiano é un dominio de factorización única .
Definición Un dominio euclidiano é un par onde É un dominio de integridade e é unha aplicación que reúne as dúas condicións seguintes:
1. Para calquera tal que é certo que existen para que2 Para dous elementos calquera :os elementos e chámanse respectivamente cociente e resto, como na división habitual.
Algúns autores consideran que a segunda condición é redundante e pode omitirse da definición.
Terminoloxía Varios autores fan referencia á función , (que define un dominio euclidiano), con diferentes nomes: “aplicación (ou función) euclidiana”, “función de medida” (ou tamaño), e chámanlle «medida» (the measure) e «tamaño» (size function) respectivamente. “grao” ou “función norma”. refírese a ela como norm function. Nalgúns contextos fálase da "norma euclidiana",Por exemplo . aínda que este nome pode levar a confusión coa norma vectorial que define a distancia usual.
É importante ter en conta que a función norma só toma valores enteiros, aínda que nalgún caso particular pode ampliarse ao conxunto completo de números reais.
Exemplos Os seguintes son exemplos de aneis que son dominios euclidianos:
Se tomamos o conxunto de números enteiros e como norma euclidiana tomamos o valor absoluto , temos un dominio euclidiano, xa que para todo con . Usando esta definición, a propiedade é equivalente ao algoritmo de división habitual entre números enteiros.
En todo corpo pódese definir unha norma euclidiana, tomando esta como a función constante , xa que, para calquera elemento e de , as dúas propiedades son satisfeitas dun xeito trivial, a saber:
tomando temos que . .
Considerando o anel de polinomios nunha variable con coeficientes nun corpo e como norma euclidiana a función
que a todo polinomio distinto de cero de asigna o seu grao, o resultado é un dominio euclidiano.
no anel de enteiros gaussianos, se para cada elemento , onde , definimos a súa norma como , temos un dominio euclidiano.
Os seguintes son exemplos de aneis que non son dominios euclidianos:
En xeral, o anel de polinomios con coeficientes nun anel aínda que o propio é un dominio euclidiano. Por exemplo non é un dominio euclidiano aínda que si o é. (A diferenza do caso xeral co exemplo no que o anel de polinomios si que é dominio euclidiano é que non temos definida unha norma que cumpra a condición requirida, que si cumpre a norma definida polo grao do polinomio).
Propiedades Nun dominio euclidiano, a identidade multiplicativa, o elemento , sempre ten a menor norma posíbel, é dicir. . Todas as unidades do anel teñen a mesma propiedade: .
Todo dominio euclidiano cumpre as seguintes propiedades:
Cada par de elementos teñen o mínimo común múltiplo e o máximo común divisor, e verifícase a identidade de Bezout. Todo ideal é principal, é dicir, é un dominio de ideais principais. Todo elemento ten unha descomposición única en factores irredutíbeis, é dicir, é un domino de factorización única . Nun dominio euclidiano todo elemento irredutíbel é primo. Notas
Véxase tamén
Bibliografía
, exercice. 7 Outros artigos División euclidiana. Dominio de integridade. Ligazóns externas Anel Euclidiano MathWorld .
Categoría:Teoría de aneis