Na geometria algébrica, os grupos de Chow (batizados em homenagem a Wei-Liang Chow por Claude Chevalley em 1958) são grupos associados a uma variedade algébrica sobre um corpo e que desempenham, no contexto algébrico-geométrico, papel análogo ao da homologia em topologia. Seus elementos são classes de ciclos algébricos (combinações formais de subvariedades) análogas às cadeias usadas na homologia simplicial ou celular. Quando a variedade é suave, os grupos de Chow podem ser vistos como uma teoria de tipo cohomológico (cf. dualidade de Poincaré), e admitem um produto interno, o produto de interseção. Em geral, os grupos de Chow carregam informação aritmética e geométrica profunda e costumam ser difíceis de calcular.

Equivalência racional e grupos de Chow Para o que segue, uma variedade sobre um corpo será um esquema integral de tipo finito sobre . Se é um esquema de tipo finito sobre , um ciclo algébrico em é uma combinação linear finita de subvariedades (fechadas) de , com coeficientes em inteiros. Para um número natural , denota-se por o grupo dos ciclos de dimensão (ou -ciclos), isto é, o grupo abeliano livre gerado pelo conjunto das subvariedades de dimensão em .

Seja uma variedade de dimensão , e seja uma função racional em que não seja identicamente nula. O divisor de define um -ciclo

em que a soma percorre as subvariedades de dimensão e é a ordem de anulação de ao longo de (negativa quando há polo ao longo de ). Para singular, a definição de requer cuidado.Fulton, Intersection Theory, §1.2 e Apêndice A.3.

Para um esquema de tipo finito sobre , diz-se que um -ciclo é racionalmente equivalente a zero se pertence ao subgrupo de gerado pelos ciclos , quando varia entre as subvariedades de dimensão de e varia entre funções racionais não nulas em . O grupo de Chow de dimensão é então o quociente

onde é a equivalência racional. Costuma-se escrever para a classe de uma subvariedade em ; se , diz-se que e são racionalmente equivalentes.

Como exemplo, se tem dimensão , então identifica-se com o grupo de classes de divisores de . Se é suave sobre (e, mais geralmente, normal e fatorial localmente noetheriano), esse grupo coincide com o grupo de Picard de fibrados em retas em .

Exemplos de equivalência racional

Equivalência racional em espaço projetivo Em espaço projetivo é fácil produzir famílias de hipersuperfícies racionalmente equivalentes: dadas formas homogêneas de grau , com

considera-se a família definida por e realiza-se esquematicamente como

Pela projeção , a fibra sobre é a hipersuperfície . Usando uma especialização como , conclui-se que a classe de qualquer hipersuperfície de grau é racionalmente equivalente a , pois o locus é com multiplicidade .

Equivalência racional em curvas Se é uma curva projetiva suave e são fibrados em retas distintos, então, em geral, os divisores de zeros de seções genéricas e determinam classes distintas em . Isso reflete a identificação, em curvas suaves, entre classes de divisores e classes em .

O anel de Chow Se é suave sobre , define-se como o grupo de Chow de ciclos de codimensão . Se , então . Os grupos formam um anel graduado comutativo com produto

O produto é induzido pela interseção de ciclos. Por exemplo, se e são subvariedades suaves de codimensões e que se intersectam transversalmente, então é representado pela soma das componentes irredutíveis de , todas de codimensão .

Em situações mais gerais, a teoria da interseção fornece representantes explícitos para . Em particular, Fulton e MacPherson constroem um elemento canônico nos grupos de Chow de cuja imagem em coincide com o produto, sem hipóteses de transversalidade.Fulton, Intersection Theory, §8.1.

Exemplos Espaço projetivo O anel de Chow de sobre qualquer corpo é

onde é a classe de um hiperplano. Além disso, qualquer subvariedade de grau e codimensão é racionalmente equivalente a . Assim, para subvariedades e de dimensões complementares e graus e , vale

em que é a classe de um ponto -racional. Se é algebricamente fechado e a interseção é transversal, obtém-se pontos de interseção (contados com multiplicidade), uma forma do teorema de Bézout.

Fórmula do fibrado projetivo Se é um fibrado vetorial de posto sobre um esquema suave e próprio , o anel de Chow do fibrado projetivo associado pode ser descrito em termos de e das classes de Chern de . Denotando

e por as classes de Chern de , há um isomorfismo de anéis

Superfícies de Hirzebruch Como exemplo, considere a superfície de Hirzebruch sobre . A única classe de Chern não trivial do fibrado de posto 2 é , donde

Observações Os grupos de Chow podem ter comportamento mais sutil em variedades gerais. Por exemplo, se é uma curva elíptica sobre , o grupo de Chow de zero-ciclos se encaixa numa sequência exata

Logo relaciona-se estreitamente ao grupo de -pontos racionais . Se é um corpo de números, esse grupo é chamado grupo de Mordell–Weil. Se , há exemplos em que grupos de Chow podem ser grupos abelianos incontáveis.

Funtorialidade Se é um morfismo próprio, existe, para cada inteiro , um homomorfismo de empurrão (pushforward)

Em particular, para próprio sobre , obtém-se um homomorfismo que envia um ponto fechado ao seu grau .

Se é plano com fibras de dimensão (possivelmente vazias), há um homomorfismo de puxão (homomorfismo de Gysin)

Uma ferramenta fundamental de cálculo é a sequência de localização: para um esquema sobre e um subesquema fechado , há uma sequência exata

Essa sequência estende-se à esquerda via a generalização dada pelos grupos de Chow superiores (homologia motivica de Borel–Moore).Fulton, Intersection Theory, Proposição 1.8.Bloch, Algebraic cycles and higher K-groups; Voevodsky, Triangulated categories of motives over a field, §2.2 e Proposição 4.2.9.

Se é um morfismo entre esquemas suaves sobre , existe também um puxão

que é homomorfismo de anéis .

Exemplos de puxões planos Em recobrimentos ramificados de curvas, as multiplicidades das fibras aparecem como coeficientes no puxão de classes de pontos. Por exemplo, num morfismo com ramificação acima de , com fatoração

(com algum ), a fibra vem com multiplicidades e

Em famílias planas , para , o diagrama cartesiano

leva a

Aplicações de ciclo Existem homomorfismos (aplicações de ciclo) dos grupos de Chow para teorias mais computáveis. Se é um esquema sobre , há uma aplicação para a homologia de Borel–Moore:Fulton, Intersection Theory, §19.1.

onde o fator 2 decorre do fato de que uma subvariedade complexa de dimensão tem dimensão real . Se é suave sobre , pela dualidade de Poincaré obtém-se um morfismo

e, nesse caso, trata-se de um homomorfismo de anéis do anel de Chow para o anel de cohomologia.

Para variedades projetivas suaves complexas, a aplicação de ciclo para cohomologia ordinária fatora através da cohomologia de Deligne, incorporando o morfismo de Abel–Jacobi para o jacobiano intermediário.Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, v. 1, §12.3.3; v. 2, Teorema 9.24.

Para um corpo arbitrário , há um análogo em termos de (co)homologia étale de Borel–Moore; quando é suave, isso pode ser identificado com um homomorfismo de anéis do anel de Chow para a cohomologia étale.Deligne, Cohomologie Etale (SGA 4 1/2), Exposé 4.

Relação com a K-teoria Se é um fibrado vetorial algébrico sobre um esquema suave , existem classes de Chern com propriedades formais análogas às topológicas.Fulton, Intersection Theory, §3.2 e Exemplo 8.3.3. Seja o grupo de Grothendieck dos fibrados vetoriais sobre . No contexto do teorema de Grothendieck–Riemann–Roch, Grothendieck mostrou que o caráter de Chern induz um isomorfismo

Esse resultado evidencia a centralidade da equivalência racional em comparação com outras relações de equivalência adequadas em ciclos.

Conjecturas Diversas conjecturas profundas da geometria algébrica e da teoria dos números relacionam-se aos grupos de Chow:

Em variedades sobre corpos de números, discute-se a finitude e o posto de grupos de ciclos sob relações como equivalência homológica e equivalência racional; conjecturas do tipo Bloch–Kato sobre valores especiais de funções L prevêem propriedades de finitude e relações com ordens de anulação. Para variedades projetivas suaves complexas, a conjectura de Hodge descreve a imagem (após tensoriar com ) da aplicação de ciclo para cohomologia singular. Para variedades suaves projetivas sobre corpos finitamente gerados, a conjectura de Tate descreve a imagem (após tensoriar com ) da aplicação de ciclo para a Cohomologia p-ádica. A conjectura de Bloch–Beilinson prevê a existência de uma filtração nos grupos de Chow (com coeficientes racionais) com fortes consequências, conectando cohomologia singular/étale e grupos de Chow.Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, v. 2, Conjectura 11.21.

Como exemplo, se é uma superfície projetiva suave complexa, o homomorfismo grau envia sobre ; seja o seu núcleo. Se o gênero geométrico é não nulo, Mumford mostrou que é “infinito-dimensional” num sentido preciso.Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, v. 2, Teorema 10.1. A conjectura de Bloch–Beilinson implicaria uma recíproca (conjectura de Bloch sobre zero-ciclos): para superfícies com gênero geométrico zero, deveria ser finito-dimensional e ligar-se à variedade de Albanese.

Variantes

Teoria bivariante Fulton e MacPherson estenderam a teoria para variedades singulares introduzindo o anel de Chow operacional e, mais geralmente, uma teoria bivariante associada a um morfismo de esquemas.Fulton, Intersection Theory, Capítulo 17. Uma teoria bivariante combina funtores covariantes e contravariantes, generalizando a ideia de uma teoria de cohomologia. Outras teorias (como cohomologia motivica) admitem aplicações para o anel de Chow operacional.

Outras variantes Os grupos de Chow aritméticos combinam grupos de Chow de variedades sobre com dados de tipo arakeloviano (por exemplo, formas diferenciais no espaço complexo associado).

A teoria estende-se de esquemas para espaços algébricos de tipo finito sobre um corpo, o que é útil para quocientes e para definir grupos de Chow equivariantes. Uma extensão mais delicada é a de pilhas (stacks), necessária, por exemplo, para definir uma classe fundamental virtual em geometria enumerativa.

História A equivalência racional de divisores (equivalência linear) foi estudada no século XIX, levando a construções como o grupo de classes de ideais na teoria algébrica dos números e a variedade jacobiana na teoria de curvas. Para ciclos de codimensão maior, a equivalência racional foi introduzida por Francesco Severi na década de 1930. Em 1956, Chow demonstrou que o produto de interseção é bem definido em ciclos módulo equivalência racional para variedades quase-projetivas suaves, usando o lema de movimento de Chow. A partir da década de 1970, Fulton e MacPherson estabeleceram a fundação moderna, tratando variedades singulares quando possível e construindo o produto de interseção em variedades suaves via deformação ao cone normal.Fulton, Intersection Theory, Caps. 5, 6 e 8.

Ver também Teoria da interseção Teorema de Grothendieck–Riemann–Roch Conjectura de Hodge Motivo (geometria algébrica)

Referências

Bibliografia introdutória

Bibliografia avançada

Categoria:Geometria algébrica Categoria:Teoria da interseção Categoria:Métodos topológicos da geometria algébrica Chow, Wei-Liang