Na matemática, especificamente na álgebra linear, uma forma bilinear degenerada em um espaço vetorial é uma forma bilinear tal que a aplicação de para (o espaço dual de ) dada por tem um núcleo não trivial, ou seja, existe algum não nulo em tal que para todo .

Uma definição equivalente quando tem dimensão finita é que a aplicação anterior não é um isomorfismo.

Formas não degeneradas Uma forma não degenerada ou não singular é uma forma bilinear que não é degenerada, o que significa que é um isomorfismo, ou equivalentemente em dimensões finitas, se e somente se

para todo implicar que .

Usando o determinante Se V tem dimensão finita, então, em relação a alguma base para V, uma forma bilinear é degenerada se e somente se o determinante da matriz associada for zero – se e somente se a matriz for singular, e consequentemente, as formas degeneradas também são chamadas de formas singulares. Da mesma forma, uma forma não degenerada é aquela para a qual a matriz associada é não singular, e, portanto, as formas não degeneradas também são referidas como formas não singulares. Essas afirmações são independentes da base escolhida.

Noções relacionadas Se para uma forma quadrática Q houver um vetor não nulo v ∈ V tal que Q(v) = 0, então Q é uma forma quadrática isotrópica. Se Q tem o mesmo sinal para todos os vetores não nulos, ela é uma forma quadrática definida ou uma forma quadrática anisotrópica.

Existe uma noção intimamente relacionada de uma forma unimodular e de um emparelhamento perfeito; estes concordam sobre corpos, mas não sobre anéis de forma geral.

Exemplos O estudo de álgebras quadráticas reais ilustra a distinção entre os tipos de formas quadráticas. O produto zz* é uma forma quadrática para cada um dos números complexos, números complexos hiperbólicos e números duais. Para z = x + ε y, a forma do número dual é x2, que é uma forma quadrática degenerada. O caso dos complexos hiperbólicos é uma forma isotrópica, e o caso complexo padrão é uma forma definida.

Os exemplos mais importantes de formas não degeneradas são os produtos internos e as formas simpléticas. Formas não degeneradas simétricas são generalizações importantes de produtos internos, nas quais muitas vezes tudo o que se exige é que a aplicação seja um isomorfismo, abdicando da exigência de positividade. Por exemplo, uma variedade com uma estrutura de produto interno em seus espaços tangentes é uma variedade riemanniana, enquanto que o relaxamento dessa condição para uma forma não degenerada simétrica produz uma variedade pseudo-riemanniana.

Dimensões infinitas Note que em um espaço de dimensão infinita, podemos ter uma forma bilinear ƒ para a qual é injetiva, mas não sobrejetiva. Por exemplo, no espaço de funções contínuas em um intervalo fechado e limitado, a forma dada por

não é sobrejetiva: por exemplo, o funcional delta de Dirac está no espaço dual, mas não está na forma exigida. Por outro lado, esta forma bilinear satisfaz

para todo implicando que

Em tal caso, onde ƒ satisfaz a injetividade (mas não necessariamente a sobrejetividade), diz-se que ƒ é fracamente não degenerada.

Terminologia Se f se anula identicamente em todos os vetores, diz-se que ela é totalmente degenerada. Dada qualquer forma bilinear f em V, o conjunto de vetores

forma um subespaço de V totalmente degenerado. A aplicação f é não degenerada se e somente se este subespaço for trivial.

Geometricamente, uma linha isotrópica da forma quadrática corresponde a um ponto da hipersuperfície quádrica associada no espaço projetivo. Tal linha é adicionalmente isotrópica para a forma bilinear se e somente se o ponto correspondente for uma singularidade. Consequentemente, sobre um corpo algebricamente fechado, o Teorema dos zeros de Hilbert garante que a forma quadrática sempre tenha linhas isotrópicas, enquanto a forma bilinear as tem se e somente se a superfície for singular.

Ver também

Espaço com produto interno indefinido Sistema dual Forma linear