Na álgebra, o teorema da redutibilidade completa de Weyl é um resultado fundamental na teoria das representações de álgebras de Lie (especificamente na teoria de representação de álgebras de Lie semissimples). Seja uma álgebra de Lie semissimples sobre um corpo de característica zero. O teorema afirma que todo módulo de dimensão finita sobre é semissimples como um módulo (ou seja, uma soma direta de módulos simples). Theorem 10.9
A álgebra envolvente é semissimples O teorema de Weyl implica (de fato, é equivalente a) que a álgebra envolvente de uma representação de dimensão finita é um anel semissimples da seguinte maneira.
Dada uma representação de álgebra de Lie de dimensão finita , seja a subálgebra associativa da álgebra de endomorfismos de V gerada por . O anel A é chamado de álgebra envolvente de . Se for semissimples, então A é semissimples. (Demonstração: Como A é uma álgebra de dimensão finita, é um anel artiniano; em particular, o radical de Jacobson J é nilpotente. Se V for simples, então implica que . Em geral, J anula cada submódulo simples de V; em particular, J anula V e, portanto, J é zero.) Inversamente, se A for semissimples, então V é um A-módulo semissimples; ou seja, semissimples como um -módulo. (Note que um módulo sobre um anel semissimples é semissimples, uma vez que um módulo é um quociente de um módulo livre e a propriedade "semissimples" é preservada sob as construções de módulo livre e módulo quociente.)
Aplicação: preservação da decomposição de Jordan Aqui está uma aplicação típica.
Demonstração: Primeiro provamos o caso especial de (i) e (ii) quando é a inclusão; isto é, é uma subálgebra de . Seja a decomposição de Jordan do endomorfismo , onde são endomorfismos semissimples e nilpotentes em . Agora, também tem sua decomposição de Jordan, que pode ser demonstrada (ver decomposição de Jordan-Chevalley) que respeita a decomposição de Jordan acima; isto é, são as partes semissimples e nilpotente de . Como são polinômios em , vemos então que . Portanto, eles são derivações de . Sendo semissimples, podemos encontrar elementos em tais que e de forma análoga para . Agora, seja A a álgebra envolvente de ; isto é, a subálgebra da álgebra de endomorfismos de V gerada por . Como notado acima, A tem radical de Jacobson nulo. Uma vez que , vemos que é um elemento nilpotente no centro de A. Mas, em geral, um nilpotente central pertence ao radical de Jacobson; consequentemente, e, assim, também . Isso prova o caso especial.
Em geral, é semissimples (resp. nilpotente) quando é semissimples (resp. nilpotente). Isso nos dá imediatamente (i) e (ii).
Demonstrações
Demonstração analítica A demonstração original de Weyl (para álgebras de Lie semissimples complexas) era de natureza analítica: usava famosamente o truque unitário. Especificamente, pode-se mostrar que toda álgebra de Lie semissimples complexa é a complexificação da álgebra de Lie de um grupo de Lie compacto simplesmente conexo . Theorem 6.11 (Se, por exemplo, , então .) Dada uma representação de em um espaço vetorial pode-se primeiro restringir à álgebra de Lie de . Em seguida, como é simplesmente conexo, Theorem 5.10 há uma representação associada de . A integração sobre produz um produto interno em para o qual é unitária. Theorem 4.28 A redutibilidade completa de é então imediata e argumentos elementares mostram que a representação original de também é completamente redutível.
Demonstração algébrica 1 Seja uma representação de dimensão finita de uma álgebra de Lie sobre um corpo de característica zero. O teorema é uma consequência fácil do lema de Whitehead, que diz que é sobrejetiva, onde um mapa linear é uma derivação se . A demonstração é essencialmente devida a Whitehead.
Seja uma sub-representação. Considere o subespaço vetorial que consiste em todos os mapas lineares tais que e . Ele possui uma estrutura de -módulo dada por: para ,
.
Agora, escolha alguma projeção sobre W e considere dada por . Sendo uma derivação, pelo lema de Whitehead, podemos escrever para algum . Temos então ; o que equivale a dizer que é -linear. Além disso, como t anula , é um idempotente tal que . O núcleo de é, portanto, uma representação complementar a .
Demonstração algébrica 2 O lema de Whitehead é tipicamente demonstrado por meio do elemento de Casimir quadrático da álgebra envolvente universal, Section 10.3 e há também uma demonstração do teorema que usa o elemento de Casimir diretamente em vez do lema de Whitehead.Uma vez que o elemento de Casimir quadrático está no centro da álgebra envolvente universal, o Lema de Schur nos diz que age como um múltiplo da identidade na representação irredutível de com peso máximo . Um ponto-chave é estabelecer que é não nulo sempre que a representação for não trivial. Isso pode ser feito através de um argumento geral Section 6.2 ou pela fórmula explícita para .
Considere um caso muito especial do teorema da redutibilidade completa: o caso em que uma representação contém um subespaço invariante irredutível e não trivial de codimensão um. Seja a ação de sobre . Como não é irredutível, não é necessariamente um múltiplo da identidade, mas é um operador de autoentrelaçamento para . Então a restrição de a é um múltiplo não nulo da identidade. Contudo, como o quociente é uma representação unidimensional — e, portanto, trivial — de , a ação de no quociente é trivial. Segue-se facilmente que deve ter um núcleo não nulo — e o núcleo é um subespaço invariante, uma vez que é um autoentrelaçador. O núcleo é então um subespaço invariante unidimensional, cuja interseção com é zero. Dessa forma, é um complemento invariante para , de modo que se decompõe como uma soma direta de subespaços irredutíveis:
.
Embora isso estabeleça apenas um caso muito especial do resultado desejado, este passo é, na verdade, o ponto crítico no argumento geral.
Demonstração algébrica 3 O teorema pode ser deduzido da teoria dos módulos de Verma, que caracteriza um módulo simples como o quociente de um módulo de Verma por um submódulo máximo. Essa abordagem tem a vantagem de poder ser usada para enfraquecer as premissas de dimensão finita (sobre a álgebra e a representação).
Seja uma representação de dimensão finita de uma álgebra de Lie semissimples de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero. Seja a Subálgebra de Borel determinada por uma escolha de uma subálgebra de Cartan e raízes positivas. Seja . Então é um -módulo e, portanto, possui a decomposição do espaço de peso :
onde . Para cada , escolha e o -submódulo gerado por e o -submódulo gerado por . Afirmamos: . Suponha . Pelo Teorema de Lie, existe um vetor de peso em ; assim, podemos encontrar um vetor de peso tal que para algum entre os geradores de Chevalley. Agora, tem peso . Como é parcialmente ordenado, há um tal que ; isto é, . Mas isso é uma contradição, pois são ambos pesos primitivos (sabe-se que os pesos primitivos são incomparáveis.). De forma semelhante, cada é simples como um -módulo. De fato, se não for simples, então, para algum , contém algum vetor não nulo que não é um vetor de peso máximo; novamente uma contradição.
Demonstração algébrica 4 Existe também uma demonstração rápida por álgebra homológica; veja o livro de álgebra homológica de Weibel. Ligações externas
Uma postagem de blog por Akhil Mathew
Referências
Republication of the 1962 original.