Na matemática, a forma de Killing, nomeada em homenagem a Wilhelm Killing, é uma forma bilinear simétrica que desempenha um papel fundamental nas teorias dos grupos de Lie e das álgebras de Lie. Os critérios de Cartan (critério de solubilidade e critério de semissimplicidade) mostram que a forma de Killing tem uma relação estreita com a semissimplicidade das álgebras de Lie.

História e nome A forma de Killing foi essencialmente introduzida na teoria de álgebras de Lie por em sua tese. Em um levantamento histórico da teoria de Lie, descreveu como o termo "forma de Killing" ocorreu pela primeira vez em 1951 durante um de seus próprios relatórios para o Séminaire Bourbaki; ele surgiu como um nome impróprio, uma vez que a forma já havia sido usada anteriormente por teóricos de Lie, sem um nome associado. Alguns outros autores agora empregam o termo "forma de Cartan-Killing". No final do século XIX, Killing havia notado que os coeficientes da equação característica de um elemento semissimples regular de uma álgebra de Lie são invariantes sob o grupo adjunto, do qual se segue que a forma de Killing (isto é, o coeficiente de grau 2) é invariante, mas ele não fez muito uso do fato. Um resultado básico do qual Cartan fez uso foi o critério de Cartan, que afirma que a forma de Killing é não degenerada se, e somente se, a álgebra de Lie for uma soma direta de álgebras de Lie simples.

Definição Considere uma álgebra de Lie sobre um corpo . Cada elemento de define o endomorfismo adjunto (também escrito como ) de com a ajuda do colchete de Lie, como

Agora, supondo que seja de dimensão finita, o traço da composição de dois desses endomorfismos define uma forma bilinear simétrica

com valores em , a forma de Killing em .

Propriedades As propriedades a seguir decorrem como teoremas a partir da definição acima.

A forma de Killing é bilinear e simétrica. A forma de Killing é uma forma invariante, assim como todas as outras formas obtidas a partir de operadores de Casimir. A derivação dos operadores de Casimir se anula; para a forma de Killing, esse anulamento pode ser escrito como

onde [ , ] é o colchete de Lie.

Se for uma álgebra de Lie simples complexa, então qualquer forma bilinear simétrica invariante em é um múltiplo escalar da forma de Killing. Isso não é mais verdade se for simples, mas não complexa; conceito-chave: álgebra de Lie absolutamente simples. A forma de Killing também é invariante sob automorfismos da álgebra , isto é,

para em .

O critério de Cartan afirma que uma álgebra de Lie é semissimples se, e somente se, a forma de Killing for não degenerada. A forma de Killing de uma álgebra de Lie nilpotente é identicamente nula. Se são dois ideais em uma álgebra de Lie com interseção nula, então e são subespaços ortogonais com respeito à forma de Killing. O complemento ortogonal com respeito a de um ideal é novamente um ideal. Ver página 207. Se uma dada álgebra de Lie é uma soma direta de seus ideais , então a forma de Killing de é a soma direta das formas de Killing de cada uma das parcelas individuais.

Elementos da matriz Dada uma base da álgebra de Lie , os elementos da matriz da forma de Killing são dados por

Aqui

na notação de soma de Einstein, onde os são os coeficientes de estrutura da álgebra de Lie. O índice funciona como índice de coluna e o índice como índice de linha na matriz . Tomar o traço equivale a colocar e somar, e assim podemos escrever

A forma de Killing é o 2-tensor mais simples que pode ser formado a partir das constantes de estrutura. A forma em si é, então,

Na definição indexada acima, temos o cuidado de distinguir índices superiores e inferiores (índices co- e contravariantes). Isso ocorre porque, em muitos casos, a forma de Killing pode ser usada como um tensor métrico em uma variedade, caso em que a distinção se torna importante para as propriedades de transformação dos tensores. Quando a álgebra de Lie é semissimples sobre um corpo de característica zero, sua forma de Killing é não degenerada e, portanto, pode ser usada como um tensor métrico para levantar e abaixar índices. Nesse caso, é sempre possível escolher uma base para tal que as constantes de estrutura com todos os índices superiores sejam completamente antissimétricas.

A forma de Killing para algumas álgebras de Lie são (para em vistos em sua representação fundamental de matrizes): ClassificaçãoNúmero de Coxeter dual - - para ímpar. para par. para ímpar. para par. A tabela mostra que o índice de Dynkin para a representação adjunta é igual a duas vezes o número de Coxeter dual.

Conexão com formas reais

Suponha que seja uma álgebra de Lie semissimples sobre o corpo dos números reais . Pelo critério de Cartan, a forma de Killing é não degenerada e pode ser diagonalizada em uma base adequada com as entradas diagonais . Pela lei da inércia de Sylvester, o número de entradas positivas é um invariante da forma bilinear, ou seja, não depende da escolha da base diagonalizadora, e é chamado de índice da álgebra de Lie . Este é um número entre e a dimensão de que é um importante invariante da álgebra de Lie real. Em particular, uma álgebra de Lie real é chamada de compacta se a forma de Killing for negativa definida (ou negativa semidefinida se a álgebra de Lie não for semissimples). Note que esta é uma das duas definições não equivalentes comumente usadas para a compacidade de uma álgebra de Lie; a outra afirma que uma álgebra de Lie é compacta se corresponder a um grupo de Lie compacto. A definição de compacidade em termos de ser definida negativa da forma de Killing é mais restritiva, pois usando esta definição pode-se mostrar que sob a correspondência de Lie, álgebras de Lie compactas correspondem a grupos de Lie semissimples compactos.

Se é uma álgebra de Lie semissimples sobre os números complexos, então existem várias álgebras de Lie reais não isomorfas cuja complexificação é , as quais são chamadas de suas formas reais. Verifica-se que toda álgebra de Lie semissimples complexa admite uma única (a menos de isomorfismo) forma real compacta . As formas reais de uma dada álgebra de Lie semissimples complexa são frequentemente rotuladas pelo índice positivo de inércia de sua forma de Killing.

Por exemplo, a álgebra linear especial complexa tem duas formas reais: a álgebra linear especial real, denotada por , e a álgebra unitária especial, denotada por . A primeira é não compacta, a chamada forma real cindida (split real form), e sua forma de Killing tem assinatura . A segunda é a forma real compacta e sua forma de Killing é negativa definida, isto é, tem assinatura . Os grupos de Lie correspondentes são o grupo não compacto de matrizes reais com determinante unitário e o grupo unitário especial , que é compacto.

Formas de traço Seja uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre o corpo , e uma representação de álgebra de Lie. Seja o funcional traço em . Então podemos definir a forma do traço para a representação como

Então a forma de Killing é o caso especial em que a representação é a representação adjunta, .

É fácil mostrar que esta é simétrica, bilinear e invariante para qualquer representação .

Se, além disso, for simples e for irredutível, então pode ser mostrado que onde é o índice da representação.

Ver também

Invariante de Casimir Campo de vetores de Killing

Bibliográfica externa